Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于两点，交轴于点，点为抛物线的顶点，且两点的横坐标分别为1和4．

（1）求点B的坐标；
（2）求二次函数的函数表达式；
（3）在（2）的抛物线上，是否存在点P，使得45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）B(7，0)；（2）；（3）P(6，5)或P（8，-7）

试题分析：（1）根据C点的横坐标为4可得抛物线的对称轴为x=4，根据抛物线的对称性即可求得结果；
（2）把点A、B的坐标代入函数关系式，即可根据待定系数法求得结果；
（3）设存在P（x，y）使得∠BAP=45°，分①P在x轴上方，②P在x轴下方，根据抛物线上的点的坐标的特征即可求得结果.
（1）∵两点的横坐标分别为1和4
∴抛物线的对称轴为x=4
∴点B的坐标为(7，0)；
（2）∵A（1，0），B（7，0）在抛物线上
∴
∴
∴；
（3）设存在P（x，y）使得∠BAP=45°
①P在x轴上方的时候，做PE⊥x轴于E，则x-1=y
即：x-1=
解得（舍去）
②P在x轴下方的时候，做PE⊥x轴于F，则x-1=-y
即：x-1=
解得（舍去）
∴存在点P(6，5)或P（8，-7）使得∠BAP=45°.
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．