题目内容
观察下列等式：12+（1×2）2+22=9=（12+1+1）2，22+（2×3）2+32=49=（22+2+1）2，32+（3×4）2+42=169=（32+3+1）2，42+（4×5）2+52=441=（42+4+1）2，52+（5×6）2+62=961=（52+5+1）2，…
（1）根据以上运算，你发现了什么规律，用含有n（n为正整数）的等式表示该规律；
（2）请用分解因式的知识说明你发现的规律的正确性．
解：（1）规律：n2+[n（n+1）]2+（n+1）2=（n2+n+1）2；
（2）说明：n2+[n（n+1）]2+（n+1）2
=n2+n2（n+1）2+（n+1）2
=n2（1+n2+2n+1）+（n+1）2
=n2[n2+2（n+1）]+（n+1）2
=n4+2n2（n+1）+（n+1）2
=（n2+n+1）2．
分析：（1）根据已知的等式，发现：等式的左边是两个连续自然数的平方和加上两个连续自然数的积的平方，等式的右边是较小自然数的平方加上较小的自然数加上1的和的平方；
（2）运用提公因式法、完全平方公式进行整理证明．
点评：此题考查了因式分解在代数式中的运用，能够灵活运用因式分解进行简便计算．
（2）说明：n2+[n（n+1）]2+（n+1）2
=n2+n2（n+1）2+（n+1）2
=n2（1+n2+2n+1）+（n+1）2
=n2[n2+2（n+1）]+（n+1）2
=n4+2n2（n+1）+（n+1）2
=（n2+n+1）2．
分析：（1）根据已知的等式，发现：等式的左边是两个连续自然数的平方和加上两个连续自然数的积的平方，等式的右边是较小自然数的平方加上较小的自然数加上1的和的平方；
（2）运用提公因式法、完全平方公式进行整理证明．
点评：此题考查了因式分解在代数式中的运用，能够灵活运用因式分解进行简便计算．
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