Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为3．
（1）若圆心O与C重合时，⊙O与AB有怎样的位置关系？
（2）若点O沿线段CA移动，当OC等于多少时，⊙O与AB相切？

Answer 1

（1）解：
过O作OD⊥AB于D，
由勾股定理得：AB===13，
由三角形的面积公式得：AC×BC=AB×CD，
∴5×12=13×CD，
∴CD=＞3，
∴⊙O与AB的位置关系是相离．

（2）解：①过O作OD⊥AB于D，当OD=3时，⊙O与AB相切，
∵OD⊥AB，∠C=90°，
∴∠ODA=∠C=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ADO∽△ACB，
∴=
即=，
∴AO=，
∴OC=5-=，
②如图
过O作OD⊥BA交BA延长线于D，
则∠C=∠ODA=90°，∠BAC=∠OAD，
∴△BCA∽△ODA，
∴=，
∴=，
OA=，
OC=5+=
答：若点O沿线段CA移动，当OC等于或时，⊙O与AB相切
分析：（1）过O作OD⊥AB于D，由勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出OD，把OD和3比较即可得出答案；
（2）过O作OD⊥AB于E，OD=3时，⊙O与AB相切，证△ADO和△ACB相似，得出比例式，代入即可求出OC．
点评：本题考查了直线与圆的位置关系，三角形的面积，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的运用，注意：判断直线与圆的位置关系的思路是过圆心作直线的垂线，比较垂线段的长和半径的大小即可．