Question

如图，在Rt△ABC中，AB=BC=6，点E，F分别在边AB，BC上，AE=3，CF=1，P是斜边AC上的一个动点，则△PEF周长的最小值为______．

Answer 1

如图，作点B关于AC的对称点D，连接AD，CD，则AC垂直平分BD，
又∵AB=BC，
∴BD平分AC，且AC=BD，
∴四边形ABCD是正方形．
取AD的中点E′，连接E′F，与AC交于点P．
∵E，E′关于AC对称，
∴PE=PE′，
此时PF+PE=PF+PE′=E′F，值最小．
过点F作FG⊥AD于G．
在Rt△E′FG中，∠E′GF=90°，FG=AB=6，GE′=3-1=2，
∴E′F=

FG2+GE′2

=

62+22

=2

10

，
∵EF=

BE2+BF2

=

32+52

=

34

，
∴△PEF周长的最小值=EF+E'F=

34

+2

10

．
故答案为

34

+2

10

．