题目内容

已知抛物线y=2x2-2(m-1)x-m.
(1)求证:无论m为任何实数,此抛物线与x轴总有两个交点;
(2)设抛物线与x轴交于点A(x1,0)、点B(x2,0),且x1<0<x2
①当OA+OB=2时,求此抛物线的解析式;
②若抛物线与y轴交于点C,是否存在这样的抛物线,使△ABC为直角三角形;若存在,求出抛物线的解析式;若不存在,说明理由.
分析:(1)首先由和抛物线y=2x2-2(m-1)x-m对应的一元二次方程为2x2-2(m-1)x-m=0,根据判别式△,即可确定方程2x2-2(m-1)x-m=0必有两个不相等的实数根,则可得无论m为任何实数,此抛物线与x轴总有两个交点;
(2)①由题意可知x1,x2是方程x2-4x+3(m-1)=0的两个实数根,根据根与系数的关系可得x1+x2=m-1,x1•x2=-
m
2
,又由OA+OB=-x1+x2,可得(x1+x22-4x1x2=4,即可求得m的值,求得此抛物线的解析式;
②设存在这样的抛物线,使△ABC为直角三角形,由点A、B分别在原点的两侧,点C(0,-m),可得只可能有∠ACB=90°,又由点A(x1,0)、点B(x2,0),且AC2+BC2=AB2,即可求得存在抛物线y=2x2+x-
1
2
,使△ABC为直角三角形.
解答:解:(1)∵和抛物线y=2x2-2(m-1)x-m对应的一元二次方程为2x2-2(m-1)x-m=0,
∵△=4(m-1)2+8m(1分)=4m2+4,
∵m2≥0,
∴4m2+4>0,
∴△>0,
∴方程2x2-2(m-1)x-m=0必有两个不相等的实数根,
∴无论m为任何实数,此抛物线与x轴总有两个交点.(1分)

(2)由题意可知x1,x2是方程x2-4x+3(m-1)=0的两个实数根,
∴x1+x2=m-1,x1•x2=-
m
2
,(1分)
①∵x1<0<x2
∴OA=-x1,OB=x2
∴OA+OB=-x1+x2
∴-x1+x2=2,
∴(x1+x22-4x1x2=4,(1分)
∴(m-1)2-4×(-
m
2
)=4,
解得:m=±
3
,(1分)
∵x1•x2<0,
∴m>0,
∴m=
3

∴所求抛物线的解析式为y=2x2-2(
3
-1)x-
3
,(1分)
②设存在这样的抛物线,使△ABC为直角三角形,
∵点A、B分别在原点的两侧,点C(0,-m),
∴只可能有∠ACB=90°,(1分)
又∵点A(x1,0)、点B(x2,0),且AC2+BC2=AB2
∴x12+m2+x22+m2=(x2-x12
∴m2=
m
2

解得m=0或m=
1
2
(1分)
但m=0不合题意,舍去,
∴m=
1
2

∴y=2x2+x-
1
2

∴存在抛物线y=2x2+x-
1
2
,使△ABC为直角三角形(1分)
点评:此题考查了二次函数与一元二次方程的联系,根与系数的关系,判别式的应用,以及勾股定理等知识.此题综合性很强,解题的关键是要注意方程思想与数形结合思想的应用.
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