Question

如图，⊙O的弦AB∥CD，直径BE平分AD于点G，交弦CD于点H，过点B作BF∥AD交CD延长线于点F．
（1）求证：BF与⊙O相切；
（2）求证：DF=DH；
（3）若弦AB=5cm，AD=8cm，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】分析：（1）由直径BE平分AD于点G，根据垂径定理即可证得BE⊥AD，又由BF∥AD，即可得EB⊥BF，即可证得BF与⊙O相切；
（2）易证得△ABG≌△DHG，即可得AB=DH，又由AB∥CD，BF∥AD，可得四边形ADFB是平行四边形，即可证得DF=AB，则可证得DF=DH；
（3）首先在Rt△ABG中求得BG的长，然后设OA=xcm，由OA²=OG²+AG²，可得方程x²=16+（x-3）²，解此方程即可求得答案．
解答：（1）证明：∵直径BE平分AD于点G，
∴BE⊥AD，
∵BF∥AD，
∴EB⊥BF，
∴BF与⊙O相切；

（2）∵AB∥CD，
∴∠ABG=∠GHD，∠A=∠GDH，
在△ABG和△DHG中，
，
∴△ABG≌△DHG（AAS），
∴AB=DH，
∵AB∥CD，AD∥BF，
∴四边形ADFB是平行四边形，
∴DF=AB，
∴DF=DH；

（3）连接OA，
∵BE⊥AD，
∴AG=AD=×8=4（cm），∠BGA=90°，
∵AB=5cm，
∴BG===3（cm），
设OA=xcm，则OG=OB-BG=x-3（cm），
∵OA²=OG²+AG²，
∴x²=16+（x-3）²，
解得：x=．
∴⊙O的半径cm．
点评：此题考查了切线的判定、平行四边形的判定与性质、勾股定理，垂径定理以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．