Question

下列命题：（一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数））
①若a+b+c=0，则b²-4ac≥0；②若b＞a+c，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根；③若b=2a+3c，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根；其中不正确的有

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   0个

Answer 1

A
分析：（1）由a+b+c=0，得b=-（a+c），所以b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²≥0，则①对；
（2）若a=-1，b=2，c=-3，则有b＞a+c，但是△=b²-4ac=2²-4×（-1）×（-3）=-8＜0，即一元二次方程ax²+bx+c=0没有实数根，则②错；
（3）由b=2a+3c，△=b²-4ac=（2a+3c）²-4ac=4（a+c）²+5c²，通过分析a，c的值可得△＞0，即一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根，则③对．
解答：（1）∵a+b+c=0，得b=-（a+c），
∴b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²≥0，所以①对；
（2）若取a=-1，b=2，c=-3，满足b＞a+c，但是△=b²-4ac=2²-4×（-1）×（-3）=-8＜0，即一元二次方程ax²+bx+c=0没有实数根，
所以②错；
（3）∵b=2a+3c，
∴△=b²-4ac=（2a+3c）²-4ac=4（a+c）²+5c²，
因为a≠0，所以当c=0，△=4（a+c）²+5c²＞0；
当c≠0，△=4（a+c）²+5c²＞0，即一元二次方程ax²+bx+c=0总有两个不相等的实数根，所以③对．
故选A．
点评：题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．