Question

【题目】如图，将矩形纸片ABCD置于直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，3），点D（异于点B、C）为边BC上动点，过点O、D折叠纸片，得点B′和折痕OD．过点D再次折叠纸片，使点C落在直线DB′上，得点C′和折痕DE，连接OE，设BD=t．

（1）当t=1时，求点E的坐标；
（2）设S四边形OECB=s，用含t的式子表示s（要求写出t的取值范围）；
（3）当OE取最小值时，求点E的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由折叠的性质可知，∠ODB=∠ODB′，∠EDC=∠EDC′，

∴∠ODE=90°，

∴∠BDO+∠CDE=90°，又∠BDO+∠BOD=90°，

∴∠BOD=∠CDE，

∵BD=t=1，BC=4，

∴CD=3，又OB=3，

∴OB=CD，

在△BOD和△CDE中，

，

∴△BOD≌△CDE，

∴CE=BD=1，

∴AE=AC﹣CE=2，

∴点E的坐标为（4，2）

（2）

解：∵BD=t，

∴DC=BC﹣BD=4﹣t，

由（1）得，∠BOD=∠CDE，又∠B=∠C=90°，

∴△ODB∽△DCE，

∴ ，即 ，

解得，CE= t2+ t，

∴S= ×（CE+OB）×BC= ×（ t2+ t+3）×4，

∴S= t2+ t+6（0＜t＜4）

（3）

解：在Rt△OEA中，OE2=OA2+AE2=42+AE2，

∴当AE最小时，OE最小，

由（2）得，CE= t2+ t，

∴AE=AC﹣CE= t2﹣ t+3= （x﹣2）2+ ，

当t=2时，AE的最小值为 ，

此时点E的坐标为（4， ）

【解析】（1）根据折叠的性质和全等三角形的判定定理证明△BOD≌△CDE，求出CE，计算出AE，得到点E的坐标；（2）根据相似三角形的性质用t表示出CE，根据梯形的面积公式用t表示S；（3）根据二次函数的性质求出AE的最小值，求出点E的坐标．
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的性质的相关知识，掌握对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．