题目内容

平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax+4a+c与x轴交于点A、B，与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为（1，0），OB=OC.

（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是线段BC上的一个动点，过点P作y轴的平行线与抛物线在x轴下方交于点Q，试问线段PQ的长度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由；
（3）若此抛物线的对称轴上的点M满足∠AMC=45°，求点M的坐标.
（1）y=x2-4x+3；（2）存在，；（3）（2，2-）或（2，2+）.

试题分析：（1）求出抛物线的对称轴，再根据对称性求出点B的坐标，然后求出点C的坐标，再把点A、C的坐标代入抛物线求出a、c即可得解；
（2）利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后表示出PQ的长，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）求出△ABC的外接圆的圆心D的坐标，再求出外接圆的半径，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠AMC=∠ABC=45°，再分点M在点D的下方和上方两种情况写出点M的坐标即可．
试题解析：：（1）抛物线的对称轴为直线x=
∵点A（1，0），
∴点B的坐标为（3，0），
∵点C在y轴的正半轴，OB=OC，
∴点C的坐标为（0，3），
∴，
解得，
∴此抛物线的解析式y=x2-4x+3；
（2）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则
，
解得，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
∴PQ=（-x+3）-（x2-4x+3）=-x2+3x=-（x-）2+，
∵点Q在x轴下方，
∴1＜x＜3，
又∵-1＜0，
∴当x=时，PQ的长度有最大值；
（3）如图，设△ABC的外接圆的圆D，

则点D在对称性直线x=2上，也在直线BC的垂直平分线y=x上，
∴点D的坐标为（2，2），
∴外接圆的半径为，
∵OB=OC，
∴∠ABC=45°，
∴∠AMC=45°时，点M为⊙D与对称轴的交点，
点M在点D的下方时，M1（2，2-），
点M在点D的上方时，M2（2，2+），
综上所述，M（2，2-）或（2，2+）时，抛物线的对称轴上的点M满足∠AMC=45°．
考点: 二次函数综合题.
练习册系列答案
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如图，在△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠BAC＝90°．动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为ts，四边形APQC的面积为ycm2．

（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形?
（2）①求y与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当t为何值时，y取得最小值？最小值为多少？
（3）设PQ的长为xcm，试求y与x的函数关系式．
如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（-4，0）两点，交y轴与C点.

(1)求该抛物线的解析式.
(2)在该抛物线位于第二象限的部分上是否存在点D，使得△DBC的面积S最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)设抛物线的顶点为点F,连接线段CF,连接直线BC,请问能否在直线BC上找到一个点M,在抛物线上找到一个点N,使得C、F、M、N四点组成的四边形为平行四边形,若存在，请写出点M和点N的坐标；若不存在，请说明理由．
若是二次函数，则m=      。
如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y=-x2+bx+c的图象经过B、C两点．

（1）求b，c的值．
（2）结合函数的图象探索：当y＞0时x的取值范围．
在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-x2+(m-1)x+4m的图象与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B（0，4），已知点E（0，1）．

（1）求m的值及点A的坐标；
（2）如图，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连结A′B、BE′．
①当点E′落在该二次函数的图象上时，求AA′的长；
②设AA′=n，其中0＜n＜2，试用含n的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标；
③当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标．
已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，求此二次函数的解析式和抛物线的顶点坐标．
若将函数y＝2x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，可得到的抛物线是               ．
将二次函数化为的形式，结果为(      )
A．B．
C．D．

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