题目内容
【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在边AB上,连结CD,将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置,连接AE.
(1)求证:AB⊥AE;
(2)若,求证:四边形ADCE为正方形.
【答案】证明:(1)∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠B=∠BAC=45°,
∵线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置,
∴∠DCE=90°,CD=CE,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACB﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD,
即∠BCD=∠ACE,
在△BCD和△ACE中
,
∴△BCD≌△ACE,
∴∠B=∠CAE=45°,
∴∠BAE=45°+45°=90°,
∴AB⊥AE;
(2)∵,
而BC=AC,
∴,
∵∠DAC=∠CAB,
∴△DAC∽△CAB,
∴∠CDA=∠BCA=90°,
而∠DAE=90°,∠DCE=90°,
∴四边形ADCE为矩形,
∵CD=CE,
∴四边形ADCE为正方形
【解析】试题分析:(1)根据旋转的性质得到∠DCE=90°,CD=CE,利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE,然后根据“SAS”可判断△BCD≌△ACE,则∠B=∠CAE=45°,所以∠DAE=90°,即可得到结论;
(2)由于BC=AC,则AC2=ADAB,根据相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB,则∠CDA=∠BCA=90°,可判断四边形ADCE为矩形,利用CD=CE可判断四边形ADCE为正方形.
解答:证明:(1)∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠B=∠BAC=45°,
∵线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置,∴∠DCE=90°,CD=CE,
∵∠ACB=90°,∴∠ACB﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD,即∠BCD=∠ACE,
在△BCD和△ACE中,∵BC=AC,∠BCD=∠ACE,CD=CE,∴△BCD≌△ACE,
∴∠B=∠CAE=45°,∴∠BAE=45°+45°=90°,∴AB⊥AE;
(2)∵BC2=ADAB,而BC=AC,∴AC2=ADAB,
∵∠DAC=∠CAB,∴△DAC∽△CAB,∴∠CDA=∠BCA=90°,
而∠DAE=90°,∠DCE=90°,∴四边形ADCE为矩形,
∵CD=CE,∴四边形ADCE为正方形.