题目内容

【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在边AB上,连结CD,将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置,连接AE.

(1)求证:AB⊥AE;

(2)若,求证:四边形ADCE为正方形.

【答案】证明:(1∵∠ACB=90°AC=BC

∴∠B=∠BAC=45°

线段CD绕点C顺时针旋转90°CE位置,

∴∠DCE=90°CD=CE

∵∠ACB=90°

∴∠ACB﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD

∠BCD=∠ACE

△BCD△ACE

∴△BCD≌△ACE

∴∠B=∠CAE=45°

∴∠BAE=45°+45°=90°

∴AB⊥AE

2

BC=AC

∵∠DAC=∠CAB

∴△DAC∽△CAB

∴∠CDA=∠BCA=90°

∠DAE=90°∠DCE=90°

四边形ADCE为矩形,

∵CD=CE

四边形ADCE为正方形

【解析】试题分析:(1)根据旋转的性质得到∠DCE=90°CD=CE,利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE,然后根据“SAS”可判断△BCD≌△ACE,则∠B=∠CAE=45°,所以∠DAE=90°,即可得到结论;

2)由于BC=AC,则AC2=ADAB,根据相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB,则∠CDA=∠BCA=90°,可判断四边形ADCE为矩形,利用CD=CE可判断四边形ADCE为正方形.

解答:证明:(1∵∠ACB=90°AC=BC∴∠B=∠BAC=45°

线段CD绕点C顺时针旋转90°CE位置,∴∠DCE=90°CD=CE

∵∠ACB=90°∴∠ACB﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD,即∠BCD=∠ACE

△BCD△ACE中,∵BC=AC∠BCD=∠ACECD=CE∴△BCD≌△ACE

∴∠B=∠CAE=45°∴∠BAE=45°+45°=90°∴AB⊥AE

2∵BC2=ADAB,而BC=AC∴AC2=ADAB

∵∠DAC=∠CAB∴△DAC∽△CAB∴∠CDA=∠BCA=90°

∠DAE=90°∠DCE=90°四边形ADCE为矩形,

∵CD=CE四边形ADCE为正方形.

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