Question

【题目】 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如8=32-12，16=52-32，24=72-52，因此，8，16，24这三个数都是“和谐数”．

（1）在32，75，80这三个数中，是和谐数的是______；

（2）若200为和谐数，即200可以写成两个连续奇数的平方差，则这两个连续奇数的和为______；

（3）小鑫通过观察发现以上求出的“和谐数”均为8的倍数，设两个连续奇数为2n-1和2n+1（其中n取正整数），请你通过运算验证“和谐数是8的倍数”这个结论是否正确．

Answer 1

【答案】（1）32，80；（2）100；（3）“和谐数是8的倍数”这个结论是正确的，证明详见解析

【解析】

（1）根据“和谐数”的定义，设出一般的情况，看和谐数应满足什么条件，以此条件判断32，75，80这三个数中，哪些数是和谐数；

（2）用字母表示两个连续奇数与和谐数，由和谐数是200，列出方程，解出即得到这两个连续的奇数，从而可以求得这两个连续奇数的和；

（3）用字母表示两个连续奇数与和谐数，通过化简，可以证明结论成立．

解：（1）由“和谐数”的定义，设这两个连续的奇数分别为，，

则和谐数可表示为：，（其中表示正整数）

∴“和谐数”就是8的正整数倍，

∴32，80是和谐数，75不是和谐数，且32=92-72，80=212-192，

故答案为：32；80.

（2）∵200，即200，

∴，

∴，，

∵49+51=100，

∴这两个连续奇数的和为100，

故答案为：100.

（3）证明：∵,

∴“和谐数是8的倍数”这个结论是正确的．