Question

在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，设能完全覆盖△ABC的圆的半径为R．则R的最小值是

 

．

Answer 1

分析：分两种情况：①如果△ABC是锐角三角形，那么能完全覆盖△ABC的最小圆必然是△ABC的外接圆．因而求外接圆的半径即可，为此，作过B点作△ABC的外接圆直径BE，连接AE．在△BAE与△ADC中，根据同弧所对的圆周角相等可知∠ACB=∠AEB，因而可证得△BAE∽△ADC．根据相似三角形的性质，求得直径BE的长，那么半径R即可知；②如果△ABC是钝角三角形，那么能完全覆盖△ABC的最小圆为最长边AB的一半．

解答：解：分两种情况：
①如果△ABC是锐角三角形，那么能完全覆盖△ABC的最小圆必然是△ABC的外接圆，
连接BO，并延长交△ABC的外接圆O于点E，并连接AE，
则∠ACB=∠AEB，
∵∠BAE=∠ADC=90°，
∴△BAE∽△ADC，
∴

BE

AC

=

AB

AD

，
即 BE=

AB

AD

•AC=

15

12

•13=

65

4

，
又∵BE是⊙O的直径，
∴BO=

1

2

BE=

65

8

；
②如果△ABC是钝角三角形，那么能完全覆盖△ABC的最小圆为最长边AB的一半，
故R=

15

2

=7.5．
故答案为：7.5或

65

8

．

点评：能够熟练运用正弦定理求得任意三角形外接圆的半径．