Question

如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，菱形AOCB，A（-3，4），点C在x轴正半轴上，点P从点A出发沿AB以1个单位/秒的速度向终点B运动，同时点Q从点C出发沿CO以1个单位/秒的速度向终点O运动，设点P运动的时间为t秒．
（1）求直线AC的解析式；
（2）连接PQ，设PQ交AC于点E，AB交y轴于点F，求EF的长．
（3）在（2）的条件下，点P关于点B的对称点为R，连接RQ交BC于点G，t为何值时，∠GEB=

1

2

∠FEB？

Answer 1

分析：（1）首先根据已知得出DO，AD的长，进而得出AO的长，即可得出C点坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）首先求出△AEP≌△CEQ（AAS），进而得出△AME≌△ENC（AAS），即可得出四边形MDNE为矩形（同理可得出四边形ADOF、四边形ONEH、四边形EHFT都为矩形），即可得出FH，EH的长，进而得出答案；
（3）首先得出四边形BOQR为平行四边形，进而得出△TBE≌△GEB（ASA），则BG=BT=1，得出CG=CB-BG即可得出答案．

解答：解：（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵A（-3，4），∴DO=3，AD=4，
在Rt△AOD中
AO=

AD2+OD2

=

42+32

=5，
∵菱形ABCD，
∴CO=AO=5，
∴C（5，0），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
则

4=-3k+b 0=5k+b

，
解得：

k=- 1 2 b= 5 2

，
∴直线AC的解析式为：y=-

1

2

x+

5

2

；

（2）如图2，过点E作EM⊥AD，EN⊥CO，ET⊥BF点M，N，T为垂足，设EM交y轴于点H，
∵AP∥CQ，
∴∠PAE=∠QCE，
在△AEP和△CEQ中

∠PEA=∠QEC ∠EAP=∠ECQ AP=QC

，
∴△AEP≌△CEQ（AAS），
∴AE=EC，
在△AME和△ENC中

∠AME=∠ENC ∠AEM=∠ECN AE=EC

，
∴△AME≌△ENC（AAS），
∴AM=EN，EM=NC，
∵∠QME=∠MQN=∠END=90°，
∴四边形MDNE为矩形（同理可得出四边形ADOF、四边形ONEH、四边形EHFT都为矩形），
∴EN=DM=AM=

1

2

AD=2，CN=

1

2

CD=4，
∴ON=1，∴E（1，2），
∵矩形ADOF，
∴OF=AD=4，
∵OH=EN=2，∴FH=2，EH=ON=1，
∴在Rt△FHE中，EF=

HE2+HF2

=

5

；

（3）如图3，连接OB，连接EG，
由菱形AOCB，OB经过AC中点E，
∵BP=BR=OQ，BR∥OQ，
∴四边形BOQR为平行四边形，
∴QG∥OB，
∵菱形AOCB，
∴OC=CB，
∴∠COB=∠CBO，
∴∠CQG=∠CGQ=∠COB=∠CBO，
∴CQ=CG=t，
∵FT=EH=1，AF=OD=3，∴BF=5-3=2，
∴FT=TB=1，∴EF=EB，∴∠BET=

1

2

∠FEB，
∴EF=EB，
∴∠BET=

1

2

∠FEB，
∴∠GEB=∠BET，
∵菱形ABCO，
∴∠TBE=∠GBE，
在△TBE和△GEB中

∠TBE=∠GBE BE=BE ∠BET=∠BEG

∴△TBE≌△GEB（ASA），
∴BG=BT=1，
∴CG=CB-BG=5-1=4，
∴t=4时，∠GEB=

1

2

∠FEB．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数解析式和菱形的性质等知识，利用数形结合得出全等三角形是解题关键．