Question

【题目】正方形ABCD中，F是AB上一点，H是BC延长线上一点，连接FH，将△FBH沿FH翻折，使点B的对应点E落在AD上，EH与CD交于点G，连接BG交FH于点M，当GB平分∠CGE时，BM=2 ，AE=8，则S四边形EFMG= ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：过B作BP⊥EH于P，连接BE，交FH于N，则∠BPG=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD=∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，

∴∠BCD=∠BPG=90°，

∵∠EGB=∠CGB，BG=BG，

∴△BPG≌△BCG，

∴∠PBG=∠CBG，BP=BC，

∴AB=BP，

∵∠BAE=∠BPE=90°，BE=BE，

∴Rt△ABE≌Rt△PBE（HL），

∴∠ABE=∠PBE，

∴∠EBG=∠EBP+∠GBP= ∠ABC=45°，

由折叠得：BF=EF，BH=EH，

∴FH垂直平分BE，

∴△BNM是等腰直角三角形，

∵BM=2 ，

∴BN=NM= =2 ，

∴BE=4 ，

∵AE=8，

∴DE=12﹣8=4，

由勾股定理得：AB= = =12，

设BF=x，则EF=x，AF=12﹣x，

由勾股定理得：x2=82+（12﹣x）2，

x= ，

∴BF=EF= ，

∵△ABE≌△PBE，

∴EP=AE=8，BP=AB=12，

同理可得：PG= ，

Rt△EFN中，FN= = ，

∴S四边形EFMG=S△EFN+S△EBG﹣S△BNM，

= FNEN+ ﹣ BNNM，

= × × + （8+ ）×12﹣ × × ，

= ．

所以答案是： ．

【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和正方形的性质的相关知识点，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形才能正确解答此题．