题目内容
如图：在平面直角坐标系中，直线
与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线y=kx+8与直线AB相交于点D，与x轴相交于点C，过D作DE⊥x轴，E为垂足，E点的横坐标为2．（1）求直线CD的解析式；
（2）若点P为x轴上一点，P点的坐标为（t，0），过P作x轴的垂线，交直线AB于点Q，边Q点作x轴的平行线交直线CD于点M，设线段QM的长为y，当-6＜t＜2时，求y与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，过P、Q、M三点的圆与直线AB和直线CD这两条直线只有三个公共点．
【答案】分析：（1）首先求得点D的坐标，然后代入到函数y=kx+8中即可求得k值，从而求得函数的解析式；
（2）根据P点的坐标表示出点Q的坐标，然后根据QM∥x轴表示出点M的坐标，从而求得函数的解析式；
（3）根据直线AB、CD的解析式求得线段OB、OA、OC的长，再根据点D的坐标求得线段CE和线段DE的长，设过P、Q、M的三点的圆为⊙O′，⊙O′与x轴交于H，MH⊥AC，四边形PQMH为矩形，然后分当⊙O′与直线CD相切时和当⊙O′与直线AB相切时求得t值即可．
解答：
解：（1）如图，∵
，
∴当x=2时，y=4，
∴D（2，4），
把D（2，4）代入y=kx+8中，得
4=2k+8，
解得，k=-2，
故直线CD的解析式为y=-2x+8；
（2）∵P点的坐标为（t，0），
∴Q点的坐标为（t，
t+3），
∵QM∥x轴，
∴M点的纵坐标为
t+3，
∴M点的横坐标为-
t+
，
∴y=-
t+
-t，即y=-
t+
；
（3）由直线AB、CD的解析式得：OB=3 OA=6 OC=4
∵D（2，4）
∴CE=2 DE=4
如图1，tan∠BAO=tan∠CDE=
∴∠BAO=∠CDE
∴∠ADC=∠ADE+∠BAO=90°
设过P、Q、M的三点的圆为⊙O′
∵PQM为直角三角形
∴PM为直径
设⊙O′与x轴交于H，MH⊥AC，四边形PQMH为矩形
如图2，当⊙O′与直线CD相切时PM⊥CD
∴∠ADC=∠PMC=90°
∴PM∥AB
又∵QM∥AC
∴四边形AQMP为平行四边形
∴AP=QM
即：-
t+
=t+6
得：t=-
∵QA=MP=QH
∴∠O′QD=2∠QAC
∵∠QAC≠45°
∴∠O′QD≠90°，
过O′作O′N⊥AD于N
则O′Q＞O′N
∴⊙O′与直线AB相交
∴此时⊙O′与直线AB和直线CD这两条直线只有三个公共点．
如图3，当⊙O′与直线AB相切时，
同理可得四边形QMCH为平行四边形，QM=CH=PH
∴AP+2QM=10
即t+6+2（-
t+
）=10
解得：t=
同理，过O′作O′T⊥CD于T，
则O′Q=O′M＞OT
∴此时⊙O′与直线CD相交，
∴当t=
时，过P、Q、M三点的圆与直线AB和直线CD这两天直线只有三个公共点；
若⊙O′经过点D，
∵PM是直径，
∴∠PDM=90°，
∵-6＜t＜2
∴PDM＜90°（不符合题意）
∴⊙O′不经过点D，
综上所述：t=
或t=
时，过P、Q、M三点的圆与直线AB和直线CD这两天直线只有三个公共点．
点评：本题考查了一元函数的应用及矩形的性质，考查的知识点虽然不多，但是本题的难度可见一斑，解题的关键是对圆与不同的直线相切进行分类讨论，从而求得未知数的值．
（2）根据P点的坐标表示出点Q的坐标，然后根据QM∥x轴表示出点M的坐标，从而求得函数的解析式；
（3）根据直线AB、CD的解析式求得线段OB、OA、OC的长，再根据点D的坐标求得线段CE和线段DE的长，设过P、Q、M的三点的圆为⊙O′，⊙O′与x轴交于H，MH⊥AC，四边形PQMH为矩形，然后分当⊙O′与直线CD相切时和当⊙O′与直线AB相切时求得t值即可．
解答：
解：（1）如图，∵，∴当x=2时，y=4，
∴D（2，4），
把D（2，4）代入y=kx+8中，得
4=2k+8，
解得，k=-2，
故直线CD的解析式为y=-2x+8；
（2）∵P点的坐标为（t，0），
∴Q点的坐标为（t，
t+3），∵QM∥x轴，
∴M点的纵坐标为
t+3，∴M点的横坐标为-
t+，∴y=-
t+-t，即y=-t+；（3）由直线AB、CD的解析式得：OB=3 OA=6 OC=4
∵D（2，4）
∴CE=2 DE=4
如图1，tan∠BAO=tan∠CDE=
∴∠BAO=∠CDE
∴∠ADC=∠ADE+∠BAO=90°
设过P、Q、M的三点的圆为⊙O′
∵PQM为直角三角形
∴PM为直径
设⊙O′与x轴交于H，MH⊥AC，四边形PQMH为矩形
如图2，当⊙O′与直线CD相切时PM⊥CD
∴∠ADC=∠PMC=90°
∴PM∥AB
又∵QM∥AC
∴四边形AQMP为平行四边形
∴AP=QM
即：-
t+=t+6得：t=-
∵QA=MP=QH
∴∠O′QD=2∠QAC
∵∠QAC≠45°
∴∠O′QD≠90°，
过O′作O′N⊥AD于N
则O′Q＞O′N
∴⊙O′与直线AB相交
∴此时⊙O′与直线AB和直线CD这两条直线只有三个公共点．
如图3，当⊙O′与直线AB相切时，
同理可得四边形QMCH为平行四边形，QM=CH=PH
∴AP+2QM=10
即t+6+2（-
t+）=10解得：t=
同理，过O′作O′T⊥CD于T，
则O′Q=O′M＞OT
∴此时⊙O′与直线CD相交，
∴当t=
时，过P、Q、M三点的圆与直线AB和直线CD这两天直线只有三个公共点；若⊙O′经过点D，
∵PM是直径，
∴∠PDM=90°，
∵-6＜t＜2
∴PDM＜90°（不符合题意）
∴⊙O′不经过点D，
综上所述：t=
或t=时，过P、Q、M三点的圆与直线AB和直线CD这两天直线只有三个公共点．点评：本题考查了一元函数的应用及矩形的性质，考查的知识点虽然不多，但是本题的难度可见一斑，解题的关键是对圆与不同的直线相切进行分类讨论，从而求得未知数的值．
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