Question

如图，ABCD中，AB=2，以点A为圆心，AB为半径的圆交边BC于点E，连接DE、AC、AE．

（1）求证：△AED≌△DCA；
（2）若DE平分∠ADC且与⊙A相切于点E，求图中阴影部分（扇形）的面积．

Answer 1

解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD∥BC。∴四边形AECD是梯形。
∵AB=AE，∴AE=CD。∴四边形AECD是等腰梯形。∴AC=DE。
在△AED和△DCA中，∵AE=DC，DE=AC，AD=DA，
∴△AED≌△DCA（SSS）。
（2）∵DE平分∠ADC，∴∠ADC=2∠ADE。
∵四边形AECD是等腰梯形，∴∠DAE=∠ADC=2∠AED。
∵DE与⊙A相切于点E，∴AE⊥DE，即∠AED=90°。∴∠ADE=30°。∴∠DAE=60°。
∴∠DCE=∠AEC=180°﹣∠DAE=120°。
∵四边形ACD是平行四边形，∴∠BAD=∠DCE=120°。
∴∠BAE=∠BAD﹣∠EAD=60°。
∴。

试题分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，AB=AE，易证得四边形AECD是等腰梯形，即可得AC=DE，然后由SSS，即可证得：△AED≌△DCA。
（2）由DE平分∠ADC且与⊙A相切于点E，可求得∠EAD的度数，继而求得∠BAE的度数，然后由扇形的面积公式求得阴影部分（扇形）的面积。