Question

【题目】如图，已知PC平分∠MPN，点O是PC上任意一点，PM与⊙O相切于点E，交PC于A、B两点．

（1）求证：PN与⊙O相切；

（2）如果∠MPC=30°，PE=2，求劣弧的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】试题分析：（1）连接OE，过O作OF⊥PN，如图所示，利用AAS得到△PEO≌△PFO，得到OF=OE，即可确定出PN与圆O相切；

（2）在Rt△POE中，由∠MPC=30°，PE=，得到∠EOP=60°，OE=2，∠EOB=120°，利用弧长公式即可求出劣弧的长．

试题解析：（1）连接OE，过O作OF⊥PN，如图所示，∵PM与圆O相切，∴OE⊥PM，∴∠OEP=∠OFP=90°，∵PC平分∠MPN，∴∠EPO=∠FPO，在△PEO和△PFO中，∵∠EPO=∠FPO，∠OEP=∠OFP，OP=OP，∴△PEO≌△PFO（AAS），∴OF=OE，则PN与圆O相切；

（2）在Rt△EPO中，∠MPC=30°，PE=，∴∠EOP=60°，OE=2，∴∠EOB=120°，则的长l==．