Question

如图，AB，CD是⊙O的直径，点E在AB延长线上，FE⊥AB，BE=EF=2，FE的延长线交CD延长线于点G，DG=GE=3，连接FD．

（1）求⊙O的半径；
（2）求证：DF是⊙O的切线．

Answer 1

解：（1）设⊙O半径为R，则OD=OB=R，
在Rt△OEG中，∠OEG=90°，由勾股定理得：OG²=OE²+EG²，
∴（R+3）²=（R+2）²+3²，R=2，即⊙O半径是2。
（2）证明：∵OB=OD=2，∴OG=2+3=5，GF=2+3=5=OG，
∵在△FDG和△OEG中，FG=OG，∠G=∠G，EG=DG，
∴△FDG≌△OEG（SAS）。∴∠FDG=∠OEG=90°。
∴∠ODF=90°，∴OD⊥DF。
∵OD为半径，∴DF是⊙O的切线。

试题分析：（1）充⊙O半径OD=OB=R，在Rt△OEG中，∠OEG=90°，由勾股定理得出方程（R+3）²=（R+2）²+3²，求出即可。
（2）证△FDG≌△OEG，推出∠FDG=∠OEG=90°，求出OD⊥DF，根据切线的判定推出即可。