Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA的延长线于点Q，则下列结论：

①AE=BF；②S四边形ECFG=S△ABG；③△BFQ是等腰三角形；④．

其中一定正确的个数是（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

①根据正方形的性质和已知条件证明△ABE≌△BCF即可；②根据三角形ABE和三角形BFC面积相等即可证明S四边形ECFG＝S△ABG；③根据折叠可得∠CFB＝∠PFB，由DC∥AB得∠CFB＝∠FBA，等量代换后即可证明△BFQ是等腰三角形；④可以设正方形边长为1，AQ＝x，AH＝y，作FI⊥AB于点I，进而根据同角三角函数值相等用含x的式子表示y，然后求出QH，利用勾股定理列出方程求出x的值，即可得到．

解：①∵在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，

∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，BE=CF，

∴△ABE≌△BCF（SAS），

∴AE=BF，故①正确；

②∵△ABE≌△BCF，

∴S△BCF=S△ABE，

∴SBCF﹣S△BGE=S△ABE﹣S△BGE，即S四边形ECFG=S△ABG，故②正确；

③∵由折叠可知：∠CFB=∠PFB，

∵DC∥AB，

∴∠CFB=∠FBA，

∴∠PFB=∠FBA，

∴QF=QB，

∴△BFQ是等腰三角形，故③正确；

④如图所示：

设PQ与AD交于点H，作FI⊥AB于点I，则四边形DAIF是矩形，

设正方形ABCD边长为1，AQ=x，AH=y，

则FI=AD=1，AI=，QI=x+，

在Rt△AQH和Rt△FIQ中，tan∠Q=，即，

∴y=，

∵AH∥FI，

∴，即，

∴，

在Rt△AHQ中，根据勾股定理得：x2+y2=y2（1+x）2，

∴x2+（）2=（）2（1+x）2，

解得：x=，

经检验，x=是方程的解，

∴BQ，

∴，故④正确．

∴正确的是①②③④，

故选：D．