题目内容

【题目】中, 中点, 与射线分别相交于点(射线不经过点).

(1)如图①,当BECF时,连接ED并延长交CF于点H. 求证:四边形BECH是平行四形;

(2)如图②,当BEAE于点ECFAE于点F时,分别取ABAC的中点MN,连接MEMDNFND. 求证:AM=AN

(3)如图②,当BEAE于点ECFAE于点F时,分别取ABAC的中点MN,连接MEMDNFND. 求证:∠EMD=∠FND.

图① 图②

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析

【解析】试题分析:1)根据两直线平行内错角相等求得∠DBE=DCH,然后依据AAS求得△BDE≌△CDH得出ED=HD,最后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求得.

2)连接FDED,延长EDCF于点H,根据直角三角形斜边的中线定理和三角形的中位线定理求得ME=DNMD=NF从而证得AM=AN

3在(2)的条件下根据SSS即可证明△MED≌△NDF,最后根据全等三角形的对应角相等求得∠EMD=FND

试题解析:

(1)如图①

DBC的中点,

BD=CD

BECF

∴∠DBE=DCH

在△BDE与△CDH中,

∴△BDE≌△CDH(AAS)

ED=HD

∴四边形BECH是平行四边形;

(2)如图②连接FDED,延长EDCF于点H

BEAECFAE

BECF

(1)可知△BDE≌△CDH

DE=DH

∴在RtEHF中,FD=DE=DH.

MAB的中点,

∴在RtAEB中,ME=BM=AM

同理,在RtACF中,FN=AN=CN.

MND分别为ABACBC的中点,

(3)由上可知ME=DNMD=NF

在△MED与△NDF中,

∴△MED≌△NDF(SSS)

∴∠EMD=FND.

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