题目内容
【题目】在中, 为中点, 、与射线分别相交于点、(射线不经过点).
(1)如图①,当BE∥CF时,连接ED并延长交CF于点H. 求证:四边形BECH是平行四形;
(2)如图②,当BE⊥AE于点E,CF⊥AE于点F时,分别取AB、AC的中点M、N,连接ME、MD、NF、ND. 求证:AM=AN
(3)如图②,当BE⊥AE于点E,CF⊥AE于点F时,分别取AB、AC的中点M、N,连接ME、MD、NF、ND. 求证:∠EMD=∠FND.
图① 图②
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析
【解析】试题分析:(1)根据两直线平行内错角相等求得∠DBE=∠DCH,然后依据AAS求得△BDE≌△CDH得出ED=HD,最后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求得.
(2)连接FD、ED,延长ED交CF于点H,根据直角三角形斜边的中线定理和三角形的中位线定理求得ME=DN,MD=NF,从而证得AM=AN;
(3)在(2)的条件下根据SSS即可证明△MED≌△NDF,最后根据全等三角形的对应角相等求得∠EMD=∠FND.
试题解析:
(1)如图①,
∵D为BC的中点,
∴BD=CD,
∵BE∥CF,
∴∠DBE=∠DCH,
在△BDE与△CDH中,
,
∴△BDE≌△CDH(AAS),
∴ED=HD,
∴四边形BECH是平行四边形;
(2)如图②连接FD、ED,延长ED交CF于点H,
∵BE⊥AE,CF⊥AE,
∴BE∥CF,
由(1)可知△BDE≌△CDH,
∴DE=DH,
∴在Rt△EHF中,FD=DE=DH.
∵M为AB的中点,
∴在Rt△AEB中,ME=BM=AM,
同理,在Rt△ACF中,FN=AN=CN.
∵M、N、D分别为AB、AC、BC的中点,
∴
(3)由上可知ME=DN,MD=NF,
在△MED与△NDF中,
,
∴△MED≌△NDF(SSS),
∴∠EMD=∠FND.