Question

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F．
（1）求证：△FOE≌△DOC；
（2）求sin∠OEF的值；
（3）若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求

AB+CD

GH

的值．

Answer 1

分析：（1）由EF是△OAB的中位线，利用中位线定理，得EF∥AB，EF=

1

2

AB，又CD∥AB，CD=

1

2

AB，可得EF=CD，由平行线的性质可证△FOE≌△DOC；
（2）由平行线的性质可知∠OEF=∠CAB，利用sin∠OEF=sin∠CAB=

BC

AC

，由勾股定理得出AC与BC的关系，再求正弦值；
（3）由（1）可知AE=OE=OC，EF∥CD，则△AEG∽△ACD，利用相似比可得EG=

1

3

CD，同理得FH=

1

3

CD，又AB=2CD，代入

AB+CD

GH

中求值．

解答：（1）证明：∵EF是△OAB的中位线，
∴EF∥AB，EF=

1

2

AB，
而CD∥AB，CD=

1

2

AB，
∴EF=CD，∠OEF=∠OCD，∠OFE=∠ODC，
∴△FOE≌△DOC；

（2）解：∵EF∥AB，
∴∠OEF=∠CAB，
∵在Rt△ABC中，AC=

AB2+BC2

=

4BC2+BC2

=

5

BC，
∴sin∠OEF=sin∠CAB=

BC

AC

=

1

5

=

5

5

；

（3）解：∵AE=OE=OC，EF∥CD，
∴△AEG∽△ACD，
∴

EG

CD

=

AE

AC

=

1

3

，即EG=

1

3

CD，
同理FH=

1

3

CD，
∴

AB+CD

GH

=

2CD+CD

CD 3 +CD+ CD 3

=

9

5

．

点评：本题综合考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，勾股定理，中位线定理，锐角三角函数定义的运用．关键是由全等、相似得出相关线段之间的位置关系，数量关系．