题目内容
如图，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，∠C=45°，AB=4，AD=5，把梯形沿过点D的直线折叠，使点A刚好落在BC边上，则此时折痕的长为5
| ||
| 2 |
| 5 |
5
| ||
| 2 |
| 5 |
分析：过点D作DF⊥BC于F，可得四边形ABFD是矩形，△CDF是等腰直角三角形，然后求出DF、CF的长，再分①折痕与AB相交时，根据翻折的性质可得A′D=AD，利用勾股定理列式求出A′F，设AE=x表示出A′E=x，BE=4-x，再表示出A′B=5-x，然后利用勾股定理列式求出x的值，在Rt△ADE中，利用勾股定理列式计算即可求出折痕DE的长；②折痕与BC相交时，根据翻折的性质可得A′D=AD=5，利用勾股定理列式求出A′F，然后求出A′B=8，设A′E=x，表示出BE=8-x，再根据翻折的性质求出B′E=BE=8-x，然后在Rt△A′B′E中，利用勾股定理列式计算即可求出x的值，然后求出EF，再利用勾股定理列式求解即可得到折痕DE的长．
解答：解：如图，过点D作DF⊥BC于F，
∵∠A=∠B=90°，∠C=45°，
∴四边形ABFD是矩形，△CDF是等腰直角三角形，
∴DF=AB=4，CF=DF=4，
①如图1，折痕与AB相交时，根据翻折的性质，A′D=AD=5，
在Rt△A′DF中，A′F=
=
=3，
AE=x，则A′E=x，BE=4-x，
又∵A′B=BF-A′F=5-3=2，
∴在Rt△A′BE中，A′E2=A′B2+BE2，
即x2=22+（4-x）2，
解得x=
，
所以，折痕DE=
=
=
；
②如图2，折痕与BC相交时，根据翻折的性质，A′D=AD=5，
在Rt△A′DF中，A′F=
=
=3，
∴A′B=BF+A′F=5+3=8，
设A′E=x，则BE=8-x，
根据翻折的性质求出B′E=BE=8-x，
在Rt△A′B′E中，A′E2=A′B′2+B′E2，
即x2=42+（8-x）2，
解得x=5，
∴EF=A′E-A′F=5-3=2，
在Rt△DEF中，折痕DE=
=
=2
；
综上所述，折痕的长为
或2
．
故答案为：
或2
．
∵∠A=∠B=90°，∠C=45°，
∴四边形ABFD是矩形，△CDF是等腰直角三角形，
∴DF=AB=4，CF=DF=4，
①如图1，折痕与AB相交时，根据翻折的性质，A′D=AD=5，
在Rt△A′DF中，A′F=
| A′D2-DF2 |
| 52-42 |
AE=x，则A′E=x，BE=4-x，
又∵A′B=BF-A′F=5-3=2，
∴在Rt△A′BE中，A′E2=A′B2+BE2，
即x2=22+（4-x）2，
解得x=
| 5 |
| 2 |
所以，折痕DE=
| AD2+AE2 |
52+(
|
5
| ||
| 2 |
②如图2，折痕与BC相交时，根据翻折的性质，A′D=AD=5，
在Rt△A′DF中，A′F=
| A′D2-DF2 |
| 52-42 |
∴A′B=BF+A′F=5+3=8，
设A′E=x，则BE=8-x，
根据翻折的性质求出B′E=BE=8-x，
在Rt△A′B′E中，A′E2=A′B′2+B′E2，
即x2=42+（8-x）2，
解得x=5，
∴EF=A′E-A′F=5-3=2，
在Rt△DEF中，折痕DE=
| DF2+EF2 |
| 42+22 |
| 5 |
综上所述，折痕的长为
5
| ||
| 2 |
| 5 |
故答案为：
5
| ||
| 2 |
| 5 |
点评：本题考查了翻折变换的性质以及直角梯形的问题，勾股定理的应用，作出辅助线是解题的关键，难点在于要分折痕的位置分情况讨论求解．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
20、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，E为BC边上的点．将直角梯形ABCD沿对角线BD折叠，使△ABD与△EBD重合（如图中阴影所示）．若∠A=130°，AB=4cm，则梯形ABCD的高CD≈
如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
（1998•大连）如图，在直角梯形ABCD中．AD∥BC，DC⊥BC，且BC=3AD．以梯形的高AE为直径的⊙O交AB于点F，交CD于点G、H．过点F引⊙O的切线交BC于点N．
BC上的动点，点G在AB上，且四边形AEFG是矩形．设FG=x，矩形AEFG的面积为y．