题目内容
【题目】如图,PQ为圆O的直径,点B在线段PQ的延长线上,OQ=QB=1,动点A在圆O的上半圆运动(含P、Q两点),以线段AB为边向上作等边三角形ABC.
(1)当线段AB所在的直线与圆O相切时,求△ABC的面积(图1);
(2)设∠AOB=α,当线段AB、与圆O只有一个公共点(即A点)时,求α的范围(图2,直接写出答案);
(3)当线段AB与圆O有两个公共点A、M时,如果AO⊥PM于点N,求CM的长度(图3).
【答案】(1);(2)0°≤α≤60°;(3).
【解析】
试题分析:(1)连接OA,过点B作BH⊥AC,垂足为H,如图1所示.∵AB与⊙O相切于点A,∴OA⊥AB.∴∠OAB=90°.∵OQ=QB=1,∴OA=1.∴AB===.∵△ABC是等边三角形,∴AC=AB=,∠CAB=60°.∵sin∠HAB=,∴HB=ABsin∠HAB=×=.∴S△ABC=ACBH=××=.∴△ABC的面积为.
(2)①当点A与点Q重合时,线段AB与圆O只有一个公共点,此时α=0°;
②当线段A1B所在的直线与圆O相切时,如图2所示,线段A1B与圆O只有一个公共点,此时OA1⊥BA1,OA1=1,OB=2,∴cos∠A1OB==.∴∠A1OB=60°.∴当线段AB与圆O只有一个公共点(即A点)时,α的范围为:0°≤α≤60°.
(3)连接MQ,如图3所示.∵PQ是⊙O的直径,∴∠PMQ=90°.∵OA⊥PM,∴∠PNO=90°.
∴∠PNO=∠PMQ.∴ON∥MQ.∴△PNO∽△PMQ.∴==,∵PO=OQ=PQ.∴PN=PM,ON=MQ.同理:MQ=AO,BM=AB.∵AO=1,∴MQ=.∴ON=.∵∠PNO=90°,PO=1,ON=,∴PN=.∴PM=.∴NM=.∵∠ANM=90°,AN=A0﹣ON=,∴AM===.∵△ABC是等边三角形,∴AC=AB=BC,∠CAB=60°.∵BM=AB,∴AM=BM.∴CM⊥AB.∵AM=,∴BM=,AB=.∴AC=.∴CM===.∴CM的长度为.