题目内容

【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M,若H是AC的中点,连接MH.
(1)求证:MH为⊙O的切线.
(2)若MH= ,tan∠ABC= ,求⊙O的半径.
(3)在(2)的条件下分别过点A、B作⊙O的切线,两切线交于点D,AD与⊙O相切于N点,过N点作NQ⊥BC,垂足为E,且交⊙O于Q点,求线段NQ的长度.

【答案】
(1)证明:连接OH、OM,

∵H是AC的中点,O是BC的中点,

∴OH是△ABC的中位线,

∴OH∥AB,

∴∠COH=∠ABC,∠MOH=∠OMB,

又∵OB=OM,

∴∠OMB=∠MBO,

∴∠COH=∠MOH,

在△COH与△MOH中,

∴△COH≌△MOH(SAS),

∴∠HCO=∠HMO=90°,

∴MH是⊙O的切线


(2)解:∵MH、AC是⊙O的切线,

∴HC=MH=

∴AC=2HC=3,

∵tan∠ABC=

=

∴BC=4,

∴⊙O的半径为2


(3)解:连接OA、CN、ON,OA与CN相交于点I,

∵AC与AN都是⊙O的切线,

∴AC=AN,AO平分∠CAD,

∴AO⊥CN,

∵AC=3,OC=2,

∴由勾股定理可求得:AO=

ACOC= AOCI,

∴CI=

∴由垂径定理可求得:CN=

设OE=x,

由勾股定理可得:CN2﹣CE2=ON2﹣OE2

﹣(2+x)2=4﹣x2

∴x=

∴OE=

由勾股定理可求得:EN=

∴由垂径定理可知:NQ=2EN=


【解析】(1)连接OH、OM,易证OH是△ABC的中位线,利用中位线的性质可证明△COH≌△MOH,所以∠HCO=∠HMO=90°,从而可知MH是⊙O的切线;(2)由切线长定理可知:MH=HC,再由点M是AC的中点可知AC=3,由tan∠ABC= ,所以BC=4,从而可知⊙O的半径为2;(3)连接CN,AO,CN与AO相交于I,由AC、AN是⊙O的切线可知AO⊥CN,利用等面积可求出可求得CI的长度,设CE为x,然后利用勾股定理可求得CE的长度,利用垂径定理即可求得NQ.

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