题目内容
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M,若H是AC的中点,连接MH.
(1)求证:MH为⊙O的切线.
(2)若MH= ,tan∠ABC= ,求⊙O的半径.
(3)在(2)的条件下分别过点A、B作⊙O的切线,两切线交于点D,AD与⊙O相切于N点,过N点作NQ⊥BC,垂足为E,且交⊙O于Q点,求线段NQ的长度.
【答案】
(1)证明:连接OH、OM,
∵H是AC的中点,O是BC的中点,
∴OH是△ABC的中位线,
∴OH∥AB,
∴∠COH=∠ABC,∠MOH=∠OMB,
又∵OB=OM,
∴∠OMB=∠MBO,
∴∠COH=∠MOH,
在△COH与△MOH中,
,
∴△COH≌△MOH(SAS),
∴∠HCO=∠HMO=90°,
∴MH是⊙O的切线
(2)解:∵MH、AC是⊙O的切线,
∴HC=MH= ,
∴AC=2HC=3,
∵tan∠ABC= ,
∴ = ,
∴BC=4,
∴⊙O的半径为2
(3)解:连接OA、CN、ON,OA与CN相交于点I,
∵AC与AN都是⊙O的切线,
∴AC=AN,AO平分∠CAD,
∴AO⊥CN,
∵AC=3,OC=2,
∴由勾股定理可求得:AO= ,
∵ ACOC= AOCI,
∴CI= ,
∴由垂径定理可求得:CN= ,
设OE=x,
由勾股定理可得:CN2﹣CE2=ON2﹣OE2,
∴ ﹣(2+x)2=4﹣x2,
∴x= ,
∴OE= ,
由勾股定理可求得:EN= ,
∴由垂径定理可知:NQ=2EN= .
【解析】(1)连接OH、OM,易证OH是△ABC的中位线,利用中位线的性质可证明△COH≌△MOH,所以∠HCO=∠HMO=90°,从而可知MH是⊙O的切线;(2)由切线长定理可知:MH=HC,再由点M是AC的中点可知AC=3,由tan∠ABC= ,所以BC=4,从而可知⊙O的半径为2;(3)连接CN,AO,CN与AO相交于I,由AC、AN是⊙O的切线可知AO⊥CN,利用等面积可求出可求得CI的长度,设CE为x,然后利用勾股定理可求得CE的长度,利用垂径定理即可求得NQ.
【题目】“赏中华诗词,寻文化基因,品生活之美”,某校举办了首届“中国诗词大会”,经选拔后有50名学生参加决赛,这50名学生同时默写50首古诗词,若每正确默写出一首古诗词得2分,根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表:
组别 | 成绩x分 | 频数(人数) |
第1组 | 50≤x<60 | 6 |
第2组 | 60≤x<70 | 8 |
第3组 | 70≤x<80 | 14 |
第4组 | 80≤x<90 | a |
第5组 | 90≤x<100 | 10 |
请结合图表完成下列各题:
(1)①求表中a的值;②频数分布直方图补充完整;
(2)若测试成绩不低于80分为优秀,则本次测试的优秀率是多少?
(3)第5组10名同学中,有4名男同学,现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习,且4名男同学每组分两人,求小明与小强两名男同学能分在同一组的概率.
【题目】甲、乙两名队员参加射击训练,成绩分别被制成下列两个统计图:
根据以上信息,整理分析数据如下:
平均成绩/环 | 中位数/环 | 众数/环 | 方差 | |
甲 | a | 7 | 7 | 1.2 |
乙 | 7 | b | 8 | c |
(1)写出表格中a,b,c的值;
(2)分别运用表中的四个统计量,简要分析这两名队员的射击训练成绩.若选派其中一名参赛,你认为应选哪名队员?