题目内容

【题目】(2016湖南省邵阳市第25题)尤秀同学遇到了这样一个问题:如图1所示,已知AF,BE是ABC的中线,且AFBE,垂足为P,设BC=a,AC=b,AB=c.

求证:a2+b2=5c2

该同学仔细分析后,得到如下解题思路:

先连接EF,利用EF为ABC的中位线得到EPF∽△BPA,故,设PF=m,PE=n,用m,n把PA,PB分别表示出来,再在RtAPE,RtBPF中利用勾股定理计算,消去m,n即可得证

(1)请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程.

(2)利用题中的结论,解答下列问题:

在边长为3的菱形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,E, F分别为线段AO,DO的中点,连接BE,CF并延长交于点M,BM,CM分别交AD于点G,H,如图2所示,求MG2+MH2的值.

【答案】(1)、证明过程见解析;(2)、5

【解析】

试题分析:(1)、设PF=m,PE=n,连结EF,如图1,根据三角形中位线性质得EFAB,EF=c,则可判断EFP∽△BPA,利用相似比得到PB=2n,PA=2m,接着根据勾股定理得到n2+4m2=b2,m2+4n2=a2,则5(n2+m2)=(a2+b2),而n2+m2=EF2=c2,所以a2+b2=5c2;(2)、利用(1)的结论得MB2+MC2=5BC2=5×32=45,再利用AEG∽△CEB可计算出AG=1,同理可得DH=1,则GH=1,然后利用GHBC,根据平行线分线段长比例定理得到MB=3GM,MC=3MH,然后等量代换后可得MG2+MH2=5.

试题解析:(1)、设PF=m,PE=n,连结EF,如图1, AF,BE是ABC的中线,

EF为ABC的中位线,AE=b,BF=a, EFAB,EF=c,

∴△EFP∽△BPA, ,即== PB=2n,PA=2m,

在RtAEP中,PE2+PA2=AE2 n2+4m2=b2

在RtAEP中,PF2+PB2=BF2 m2+4n2=a2

+得5(n2+m2)=(a2+b2),

在RtEFP中,PE2+PF2=EF2 n2+m2=EF2=c2 5c2=(a2+b2), a2+b2=5c2

(2)、四边形ABCD为菱形, BDAC, E,F分别为线段AO,DO的中点,

由(1)的结论得MB2+MC2=5BC2=5×32=45, AGBC, ∴△AEG∽△CEB, == AG=1,

同理可得DH=1, GH=1, GHBC, ===

MB=3GM,MC=3MH, 9MG2+9MH2=45, MG2+MH2=5.

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