题目内容
【题目】(2016湖南省邵阳市第25题)尤秀同学遇到了这样一个问题:如图1所示,已知AF,BE是△ABC的中线,且AF⊥BE,垂足为P,设BC=a,AC=b,AB=c.
求证:a2+b2=5c2
该同学仔细分析后,得到如下解题思路:
先连接EF,利用EF为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA,故,设PF=m,PE=n,用m,n把PA,PB分别表示出来,再在Rt△APE,Rt△BPF中利用勾股定理计算,消去m,n即可得证
(1)请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程.
(2)利用题中的结论,解答下列问题:
在边长为3的菱形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,E, F分别为线段AO,DO的中点,连接BE,CF并延长交于点M,BM,CM分别交AD于点G,H,如图2所示,求MG2+MH2的值.
【答案】(1)、证明过程见解析;(2)、5
【解析】
试题分析:(1)、设PF=m,PE=n,连结EF,如图1,根据三角形中位线性质得EF∥AB,EF=c,则可判断△EFP∽△BPA,利用相似比得到PB=2n,PA=2m,接着根据勾股定理得到n2+4m2=b2,m2+4n2=a2,则5(n2+m2)=(a2+b2),而n2+m2=EF2=c2,所以a2+b2=5c2;(2)、利用(1)的结论得MB2+MC2=5BC2=5×32=45,再利用△AEG∽△CEB可计算出AG=1,同理可得DH=1,则GH=1,然后利用GH∥BC,根据平行线分线段长比例定理得到MB=3GM,MC=3MH,然后等量代换后可得MG2+MH2=5.
试题解析:(1)、设PF=m,PE=n,连结EF,如图1, ∵AF,BE是△ABC的中线,
∴EF为△ABC的中位线,AE=b,BF=a, ∴EF∥AB,EF=c,
∴△EFP∽△BPA, ∴,即==, ∴PB=2n,PA=2m,
在Rt△AEP中,∵PE2+PA2=AE2, ∴n2+4m2=b2①,
在Rt△AEP中,∵PF2+PB2=BF2, ∴m2+4n2=a2②,
①+②得5(n2+m2)=(a2+b2),
在Rt△EFP中,∵PE2+PF2=EF2, ∴n2+m2=EF2=c2, ∴5c2=(a2+b2), ∴a2+b2=5c2;
(2)、∵四边形ABCD为菱形, ∴BD⊥AC, ∵E,F分别为线段AO,DO的中点,
由(1)的结论得MB2+MC2=5BC2=5×32=45, ∵AG∥BC, ∴△AEG∽△CEB, ∴==, ∴AG=1,
同理可得DH=1, ∴GH=1, ∴GH∥BC, ∴===,
∴MB=3GM,MC=3MH, ∴9MG2+9MH2=45, ∴MG2+MH2=5.