题目内容
【题目】苏科版九年级下册数学课本91页有这样一道习题：
（1）复习时，小明与小亮、数学老师交流了自己的两个见解，并得到了老师的认可：
①可以假定正方形的边长AB＝4a，则AE＝DE＝2a，DF＝a，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”可以证明△ABE∽△DEF；请结合提示写出证明过程．
②图中的相似三角形共三对，而且可以借助于△ABE与△DEF中的比例线段来证明△EBF与它们相似．证明过程如下：
（2）交流之后，小亮尝试对问题进行了变化，在老师的帮助下，提出了新的问题，请你解答：
已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC．
（AB＞AE）
①求证：△AEF∽△ECF；
②设BC＝2，AB＝a，是否存在a值，使得△AEF与△BFC相似．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②当a＝
时，△AEF与△BFC相似
【解析】(1)按提示，列出条件，便得到相似三角形；
（2）
由∠AEF＝∠DCE，∠A＝∠D＝90°，可证△AEF∽△DEC，得
，再由AE＝ED，得
，证得△AEF∽△EFC．
②由题意得：AE＝DE＝1，由△AEF∽△DCE得：AF＝
，故BF＝a－．分两种情况：若△AEF∽△BFC则
；若△AEF∽△BCF，则
．分别求解可得.
（1）①证明：假定正方形的边长AB＝4a，则AE＝DE＝2a，DF＝a，
在正方形ABCD中，∠A＝∠D＝90°．
＝2，∠A＝∠D＝90°．
∴△ABE∽△DEF．
（2）①证明：∵∠D＝90°，∴∠D EC＋∠DCE＝90°
∵EF⊥EC，∴∠D EC＋∠AEF＝90°
∴∠AEF＝∠DCE，又因为∠A＝∠D＝90°
∴△AEF∽△DEC
∴，∵AE＝ED,
∴，即
，∵∠A＝∠BEF＝90°
∴△AEF∽△EFC．
②由题意得：AE＝DE＝1，由△AEF∽△DCE得：AF＝，故BF＝a－．
若△AEF∽△BFC
则，此时a无解；
若△AEF∽△BCF
则 ，此时a＝．
所以，当a＝
时，△AEF与△BFC相似．
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