题目内容
如图,AB是⊙O的直径,C是BD的中点,CE⊥AB,垂足为E,BD交CE于点F.
小题1:求证:CF=BF;
小题2:若AD=2,⊙O的半径为3,求BC的长
小题1:求证:CF=BF;
小题2:若AD=2,⊙O的半径为3,求BC的长
小题1:连结AC,如图
∵C是弧BD的中点 ∴∠BDC=∠DBC
又∠BDC=∠BAC
在三角形ABC中,∠ACB=90°,CE⊥AB∴ ∠BCE=∠BAC,
∠BCE=∠DBC
∴ CF=BF 因此,CF=BF. 3分
小题2:证法一:作CG⊥AD于点G,
∵C是弧BD的中点 ∴∠CAG=∠BAC,
即AC是∠BAD的角平分线.
∴ CE=CG,AE="AG" ,在Rt△BCE与Rt△DCG中,CE="CG" ,CB=CD
∴Rt△BCE≌Rt△DCG,∴BE="DG" ,∴AE=AB-BE=AG=AD+DG即 6-BE=2+DG
∴2BE=4,即BE=2 又 △BCE∽△BAC,∴
(舍去负值),∴ 7分
(2)证法二:∵AB是⊙O的直径,CE⊥AB
∴∠BEF=,
在与中,
∵
∴∽,则
即, ∴
又∵, ∴
利用勾股定理得:
又∵△EBC∽△ECA则,即则
∴即
∴ ∴
(1)等弧对等角;
(2)以上两种解题方法都用到了三角形的相似。
(2)以上两种解题方法都用到了三角形的相似。
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