题目内容

如图(1),四边形ABCD内部有一点P,使得S△APD+S△BPC=S△PAB+S△PCD,那么这样的点P叫做四边形ABCD的等积点.
(1)如果四边形ABCD内部所有的点都是等积点,那么这样的四边形叫做等积四边形.
①请写出你知道的等积四边形:
 
 
 
 
,(四例)
②如图(2),若四边形ABCD是平行四边形且S△ABP=8,S△APD=7,S△BPC=15,则S△PCD=
 

(2)如图(3),等腰梯形ABCD,AD=4,BC=10,AB=5,直线l为等腰梯形的对称轴,分别交AD于点E,交BC于点F.
①请在直线l上找到等腰梯形的等积点,并求出PE的长度.
②请找出等腰梯形ABCD内部所有的等积点,并画图表示.
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分析:(1)①过O作EF⊥BC于F,交AD于E,根据平行四边形的性质和 三角形的面积求出S△OAD+S△OBC=
1
2
S平行四边形ABCD即可;②根据已知公式代入求出即可;
(2)①作AR⊥BC于R,DT⊥BC于T,根据勾股定理求出AR,计算等腰梯形的面积,根据已知得到∴
1
2
×AD×PE+
1
2
×BC×(4-PE)=14,求出即可;②根据求出的PE=2,计算PF=PE=2,根据梯形的中位线定理即可得到答案.
解答:(1)①解精英家教网
过O作EF⊥BC于F,交AD于E,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∵EF⊥BC,
∴EF⊥AD,
∴S△OAD+S△OBC=
1
2
×AD×OE+
1
2
×BC×OF=
1
2
BC×EF=
1
2
S平行四边形ABCD
同理S△OAB+S△OCD=
1
2
S平行四边形ABCD
∴S△OAB+S△OCD=S△OAD+S△OBC
∴平行四边形ABCD符合条件,
同理:正方形、矩形、菱形都符合,
故答案为:正方形、矩形、菱形、平行四边形.

②解:∵四边形ABCD是平行四边形且S△ABP=8,S△APD=7,S△BPC=15,
∴SPCD+S△PAB=S△PAD+S△PBC
∴S△PCD=7+15-8=14,
故答案为:14.

(2)①解:作AR⊥BC于R,DT⊥BC于T,精英家教网
∵等腰梯形ABCD,
∴BR=TC=
1
2
(BC-AD)=3,
由勾股定理得:AR=DT=
AB2-BR2
=4,
∴等腰梯形ABCD的面积是
1
2
×(AD+BC)×AR=
1
2
×(4+10)×4=28,
∴S△PAD+S△PBC=
1
2
×28=14,
1
2
×AD×PE+
1
2
×BC×(4-PE)=14,
解得:PE=2,精英家教网
答:PE的长是2.

②解过P作HK∥AD交AB于H,交CD于K,
即作等腰梯形的中位线HK,
则等腰梯形ABCD内部所有的等积点是线段HK上任意一点都符合(端点H、K除外),如图.
点评:本题主要考查对等腰梯形的性质,平行四边形的性质,三角形的面积,三角形的中位线定理,勾股定理,解一元一次方程等知识点的理解和掌握,能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键.
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