题目内容
【题目】如图，已知直线y=kx+6与抛物线y=
+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第三象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．
【答案】(1)y=
+2x+3；(2)存在；P（
，）；(3)（0，
）或（0，
）或（0，1）或（0，3）．
【解析】
试题分析：（1）由待定系数法确定函数解析式；
（2）先确定出点C坐标，再由△POB≌△POC建立方程，求解即可，
（3）分三种情况计算，分别判断
∽△DOB，
∽△DOB，
∽
，列出比例式建立方程求解即可．
试题解析：（1）把A（1，4）代入y=kx+6，
∴k=﹣2，
∴y=﹣2x+6，
由y=﹣2x+6=0，得x=3
∴B（3，0）．
∵A为顶点
∴设抛物线的解析为y=
+4，
∴a=﹣1，
∴y=
+4=+2x+3；
（2）存在．理由如下：
当x=0时y=+2x+3=3，
∴C（0，3）
∵OB=OC=3，OP=OP，
∴当∠POB=∠POC时，△POB≌△POC，
作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，
∴∠POM=∠PON=45°．
∴PM=PN
∴设P（m，m），则m=
+2m+3，
∴m=
，
∵点P在第三象限，
∴P（，）；
（3）①如图，当
=90°时，作AE⊥y轴于E，
∴E（0，4）
∵
=∠DOB=90°，
=∠BDO，
∴
∽△DOB，
∴
，即
，
∴
=
，
∴
=，
∴
（0，）；
②如图，
当
=90°时，∠DBO+
=
+
=90°，
∴∠DBO=，
∵∠DOB=
=90°，
∴
∽△DOB，
∴
，
∴
，
∴
=
，
∴
（0，）；
③如图，当
=90°时，
=
=90°，
∴
=90°，
∴
∴
，
∴
，即
，
∴
=0，
∴
=1或3，
∴
（0，1）或（0，3）．
综上，Q点坐标为（0，）或（0，）或（0，1）或（0，3）．
