题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,且OA、OB的长满足|OA﹣8|+(OB﹣6)2=0,∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线,垂足为点D,交y轴于点E.
(1)求线段AB的长;
(2)求直线CE的解析式;
(3)若M是射线BC上的一个动点,在坐标平面内是否存在点P,使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)求线段AB=10;(2)求直线CE的解析式y=-x-4;(3)点P的坐标(-4,8)、(3,2);
【解析】试题分析:
(1) 根据绝对值和平方的非负性可以获得线段OA和OB的长. 利用勾股定理可以得到线段AB的长.
(2) 要求直线CE的解析式,需要先求点C和点E的坐标. 利用角平分线的性质可以得到OB=DB,OC=DC. 利用已知的线段长度和各线段之间的关系,在Rt△ADC中通过勾股定理可以获得关于OC的方程,求解这一方程即可获得点C的坐标. 利用对顶角的关系可以证明△ADC与△EOC全等,进而可以利用线段AD的长获得点E的坐标. 利用点C和点E的坐标通过待定系数法即可求得直线CE的解析式.
(3) 根据题意可以在第一和第二象限内各找到一个符合题意的点P. 因此,本小题应该对这两种情况分别进行讨论. 在求解位于第二象限内的点P坐标的时候,可以过点P作y轴的垂线PG. 利用△BOC和△AMC相似的关系获得线段AM的长,利用矩形的性质得到线段PB的长. 利用△PGB与△BOC相似的关系获得线段PG和BG的长,进而写出点P的坐标. 在求解位于第一象限内的点P坐标的时候,可以过点P作y轴的垂线PH. 利用△ABM与△DBC相似的关系获得线段AM的长,利用矩形的性质得到线段PB的长. 利用△PHB与△BOA相似的关系获得线段PH和BH的长,进而写出点P的坐标.
试题解析:
(1) ∵,
∴OA=8,OB=6.
∴在Rt△AOB中, .
(2) 设OC=m,则AC=OA-OC=8-m.
∵点C在∠ABO的平分线上,
∴.
∵OC⊥BE,CD⊥AB,
∴∠BOC=∠BDC=90°.
∵在△BOC和△BDC中,
,
∴△BOC≌△BDC (AAS).
∴OB=DB=6,OC=DC=m.
∴AD=AB-BD=10-6=4.
∵在Rt△ADC中,AC2=AD2+CD2,
∴(8-m)2=42+m2,
∴m=3.
∴OC=m=3.
∴点C的坐标为(-3, 0).
∵在△ADC和△EOC中,
,
∴△ADC≌△EOC (ASA).
∴AD=EO=4.
∴点E的坐标为(0, -4).
设直线CE的解析式为y=kx+b (k≠0).
将点C和点E的坐标分别代入直线CE的解析式,得
,
解之,得
,
∴直线CE的解析式为.
(3) 点P的坐标为(-4, 8)或(3, 2). 求解过程如下.
根据题意,分别对下面两种情况进行讨论.
①如图①,四边形AMBP为矩形.
过点P作PG⊥OB,垂足为G.
∵OC=3,OB=6,
∴在Rt△BOC中, .
∵∠BOC=∠AMC=90°,∠BCO=∠ACM,
∴△BOC∽△AMC,
∴.
∵AC=OA-OC=8-3=5,OB=6, ,
∴.
∴在矩形AMBP中, .
∵∠PBM=90°,
∴∠PBG+∠OBC=180°-∠PBM=180°-90°=90°.
∵在Rt△BOC中,∠BCO+∠OBC=90°,
∴∠PBG=∠BCO.
∵∠PGB=∠BOC=90°,∠PBG=∠BCO,
∴△PGB∽△BOC,
∴.
∴, .
∴OG=OB+BG=6+2=8.
∴点P的坐标为(-4, 8).
②如图②,四边形AMBP为矩形.
如图②,过点P作PH⊥OB,垂足为H.
∵CD⊥AB,AM⊥AB,
∴CD∥AM,
∴△ABM∽△DBC,
∴.
∵CD=OC=3,BD=OB=6,AB=10,
∴.
∴在矩形AMBP中,BP=MA=5.
∵∠ABO+∠PBH=∠ABP=90°,
又∵在Rt△AOB中,∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠PBH=∠BAO.
∵∠PHB=∠BOA=90°,∠PBH=∠BAO,
∴△PHB∽△BOA,
∴.
∴, .
∴OH=OB-BH=6-4=2.
∴点P的坐标为(3, 2).
综上所述,点P的坐标为(-4, 8)或(3, 2).