题目内容
(2013年四川绵阳14分)我们知道,三角形的三条中线一定会交于一点,这一点就叫做三角形的重心.重心有很多美妙的性质,如关于线段比.面积比就有一些“漂亮”结论,利用这些性质可以解决三角形中的若干问题.请你利用重心的概念完成如下问题:
(1)若O是△ABC的重心(如图1),连结AO并延长交BC于D,证明:;
(2)若AD是△ABC的一条中线(如图2),O是AD上一点,且满足,试判断O是△ABC的重心吗?如果是,请证明;如果不是,请说明理由;
(3)若O是△ABC的重心,过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H(均不与△ABC的顶点重合)(如图3),S四边形BCHG,S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积,试探究的最大值.
解:(1)证明:如答图1所示,连接CO并延长,交AB于点E,
∵点O是△ABC的重心,∴CE是中线,点E是AB的中点。
∴DE是中位线。∴DE∥AC,且DE=AC。
∵DE∥AC,∴△AOC∽△DOE。
∴。
∵AD=AO+OD,
∴。
(2)答:点O是△ABC的重心。证明如下:
如答图2,作△ABC的中线CE,与AD交于点Q,
则点Q为△ABC的重心。
由(1)可知,
,
而,
∴点Q与点O重合(是同一个点)。
∴点O是△ABC的重心。
(3)如答图3所示,连接DG.
设S△GOD=S,由(1)知,即OA=2OD,
∴S△AOG=2S,S△AGD=S△GOD+S△AGO=3S。
为简便起见,不妨设AG=1,BG=x,则S△BGD=3xS.
∴S△ABD=S△AGD+S△BGD=3S+3xS=(3x+3)S。
∴S△ABC=2S△ABD=(6x+6)S。
设OH=k•OG,由S△AGO=2S,得S△AOH=2kS,
∴S△AGH=S△AGO+S△AOH=(2k+2)S。
∴S四边形BCHG=S△ABC﹣S△AGH=(6x+6)S﹣(2k+2)S=(6x﹣2k+4)S。
∴ ①。
如答图3,过点O作OF∥BC交AC于点F,过点G作GE∥BC交AC于点E,则OF∥GE。
∵OF∥BC,∴。∴OF=
CD=
BC。
∵GE∥BC,∴。∴
。
∴,∴
。
∵OF∥GE,∴。∴
,即
。
∴,代入①式得:
。
∴当x=时,
有最大值,最大值为
。
解析

如图是由棱长为1的正方体搭成的积木三视图,则图中棱长为1的正方体的个数是
A.5 | B.12 | C.6 | D.7 |
如图,一个简单几何体的三视图的主视图与左视图都为正三角形,其俯视图为正方形,则这个几何体是( )
A.四棱锥 | B.正方体 | C.四棱柱 | D.三棱锥 |
下列几何体中,主视图是矩形,俯视图是圆的几何体是
A.![]() | B.![]() | C.![]() | D.![]() |