题目内容

【题目】如图,在RtABC中,BAC=90°,现在有一足够大的直角三角板,它的直角顶点D是BC上一点,另两条直角边分别交AB、AC于点E、F.

(1)如图1,若DEAB,DFAC,求证:四边形AEDF是矩形;

(2)在(1)条件下,若点D在BAC的 角平分线上,试判断此时四边形AEDF的形状,并说明理由;

(3)若点D在BAC的角平分线上,将直角三角板绕点D旋转一定的角度,使得直角三角板的两条边与两条直角边分别交于点E、F(如图2),试证明AE+AF=AD.

【答案】见解析

【解析】解:(1)DEAB,BFAC,

∴∠AED=AFD=90°,

∵∠BAC=90°,

四边形AEDF是矩形;

(2)四边形AEDF是正方形,

理由:点D在BAC的 角平分线上,DEAB,BFAC,

DE=DF,

矩形AEDF是正方形;

(3)作DMAB于M,DNAC于N,

∴∠AED=AFD=BAC=90°,

点D在BAC的 角平分线上,

DM=DN,

四边形AMDN是正方形,

AM=DM=DN=AN,MDN=AMD=90°,

∴∠MDF+NDF=90°,

∵∠EDF=90°,

∴∠MDF+EDM=90°,

∴∠NDF=EDM,

EMD与END中,

∴△EMD≌△END,

EM=FN,

∵∠AMD=90°,

AM2+DM2=AD2

AD=AM,

AM=(AM+AN)=(AE+AF),

AD=×(AE+AF),

AE+AF=AD.

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