题目内容
【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,且抛物线经过A(1,0),C(0,3)两点,与x轴交于点B.
(1)若直线y=mx+n经过B、C两点,求直线BC和抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标;
(3)设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.
【答案】
【解析】解:(1)依题意得:,
解之得:,
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3
∵对称轴为x=﹣1,且抛物线经过A(1,0),
∴把B(﹣3,0)、C(0,3)分别代入直线y=mx+n,
得,
解之得:,
∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3;
(2)设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M,则此时MA+MC的值最小.
把x=﹣1代入直线y=x+3得,y=2,
∴M(﹣1,2),
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(﹣1,2);
(3)设P(﹣1,t),
又∵B(﹣3,0),C(0,3),
∴BC2=18,PB2=(﹣1+3)2+t2=4+t2,PC2=(﹣1)2+(t﹣3)2=t2﹣6t+10,
①若点B为直角顶点,则BC2+PB2=PC2即:18+4+t2=t2﹣6t+10解之得:t=﹣2;
②若点C为直角顶点,则BC2+PC2=PB2即:18+t2﹣6t+10=4+t2解之得:t=4,
③若点P为直角顶点,则PB2+PC2=BC2即:4+t2+t2﹣6t+10=18解之得:t1=,t2=;
综上所述P的坐标为(﹣1,﹣2)或(﹣1,4)或(﹣1,) 或(﹣1,).
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