Question

如图，在直角坐标平面内，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），B点在x轴上且在点A的右侧，AB＝OA，过点A和B作x轴的垂线分别交二次函数y＝x²的图象于点C和D，直线OC交BD于M，直线CD交y轴于点H。记C、D的横坐标分别为x_C，x_D，点H的纵坐标y_H。

（1）证明：①S_△CMD∶S梯形_ABMC＝2∶3

②x_C·x_D＝－y_H

（2）若将上述A点坐标（1，0）改为A点坐标（t，0），t＞0，其他条件不变，结论S_△CMD：S_梯形ABMC＝2∶3是否仍成立？请说明理由。

（3）若A的坐标（t，0）（t＞0），又将条件y＝x²改为y＝ax²（a＞0），其他条件不变，那么X_C、X_D和y_H又有怎样的数量关系？写出关系式，并证明。

Answer 1

解：（1）由已知可得点B的坐标为（2，0）点C的坐标为（1，1），点D的坐标为（2，4），且直线OC的函数解析式为y＝x。

∴点M的坐标为（2，2），易得S_△CMD＝1，S_梯形ABMC＝ ………………（1.5＇）

∴S_△CMD∶S_梯形ABMC＝2∶3，即结论①成立。

设直线CD的函数解析式为y＝kx＋b，则

                  即

∴直线CD的解析式为y＝3x－2。

由上述可得点H的坐标为（0，－2），即y_H＝－2 ………………………（2.5＇）

∴x_C·x_D＝－y_H.     即结论②成立    ………………………………………………（3＇）

（2）结论S_△CMD：S_梯形ABMC＝2:3仍成立. ……………………………………………（4＇）

理由如下：∵点A的坐标为（t，0），（t＞0）.

则点B的坐标为（2t，0）

从而点C的坐标为（t，t²），点D的坐标为（2t，4t²）.

设直线OC的解析式为y＝kx，则t²＝kt       得k＝t

∴直线OC的解析式为y＝tx  ……………………………………（5＇）

又设M的坐标为（2t，y）

∵点M在直线OC上

∴当x＝2t时，y＝2t²

∴点M的坐标为（2t，2t²）   ……………………………………（6＇）

∴S_△CMD：S_梯形ABMC＝·2t²·t∶（t²＋2t²）·t

                                      ＝t³∶（t³）

＝  …………………………………………（7＇）

（3）x_C，x_D和y_H有关数量关系x_C·x_D＝－y_H. …………………………………（8＇）

由题意，当二次函数的解析式为y＝ax²（a＞0），且点A的坐标为（t，0）时，点C的坐标为（t，at²），点D的坐标为（2t，4at²）   …………………………（9＇）

设直线CD的解析式为y＝kx＋b

则                得

∴CD的解析式为y＝3atx－2at² ………………………………………………（11＇）

则H的坐标为（0，－2at²）即y_H＝－2at²       …………………………………（11.5＇）

∵x_C·x_D＝t·2t＝2t²  ………………………………………… …………………（12＇）

∴x_C·x_D＝－y_H.