Question

设x₁、x₂是关于x的一元二次方程x²+ax+a=2的两个实数根，则（x₁-2x₂）（x₂-2x₁）的最大值为

 

．

Answer 1

分析：x₁、x₂是关于x的一元二次方程x²+ax+a=2的两个实数根，根据根与系数的关系，表示出a的二次函数的形式，然后求解．

解答：解：∵△=a²-4（a-2）=a²-4a+8=（a-2）²+4＞0，
∴对于任意实数a，原方程总有两个实数根．
由根与系数的关系得：x₁+x₂=-a，x₁x₂=a-2，
∴（x₁-2x₂）（x₂-2x₁）=-2（x₁+x₂）²+9x₁x₂，
=-2a²+9a-18，
=-2（a-

9

4

）²-

63

8

，
∴当a=

9

4

时，原式有最大值-

63

8

．
故答案为：-

63

8

．

点评：本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度不大，关键是熟记x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两根时，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，反过来可得p=-（x₁+x₂），q=x₁x₂．