Question

已知两圆的半径分别为5和12．当它们相切时，圆心距为

7或17

；当圆心距等于13时，公共弦长为

120

13

．

Answer 1

分析：分两种情况考虑：当两圆内切时，圆心距等于两半径相减；当两圆外切时，圆心距等于两半径相加，根据已知的两半径即可求出相应的圆心距；当两圆圆心距等于13时，根据13大于两半径之差，小于两半径之和，判断得到两圆相交，画出相应的图形，连接AE，BE，AF，BF，由AE=BE，AF=BF，根据线段垂直平分线的逆定理得到EF垂直平分AB，又AE=5，AF=12，EF=13，利用勾股定理的逆定理得到三角形AEF为直角三角形，利用面积法求出斜边EF边上的高AC的长，由AB=2AC即可得出公共弦AB的长．

解答：解：由两圆的半径分别为5和12，
当两圆内切时，圆心距d=12-5=7；
当两圆外切时，圆心距d=5+12=17，
当圆心距d=13时，∵12-5＜d＜12+5，
∴此时两圆相交，画出相应的图形，如图所示：

连接AE，AF，BE，BF，
则有AE=5，AF=12，即AE²+AF²=25+144=169，
又∵EF=13，即EF²=169，
∴AE²+AF²=EF²，
∴△AEF为直角三角形，
又AE=BE，AF=BF，
∴EF垂直平分AB，即AC⊥EF，AC=BC=

1

2

AB，
∵S_△AEF=

1

2

AE•AF=

1

2

EF•AC，
∴AC=

AE•AF

EF

=

60

13

，
则AB=2AC=

120

13

．
故答案为：7或17；

120

13

点评：此题考查了相切两圆的性质，以及相交两圆的性质，两圆的位置关系可以由d，R，r的大小关系来判断，当d＜R-r时，两圆内含；当d=R-r时，两圆内切；当R-r＜d＜R+r时，两圆相交；当d=R+r时，两圆外切；当d＞R+r时，两圆外离，两圆相交时，圆心距垂直平分两圆的公共弦．