题目内容
【题目】如图①,在平面直角坐标中,点A的坐标为(1,﹣2),点B的坐标为(3,﹣1),二次函数y=﹣x2的图象为l1 .
(1)平移抛物线l1 , 使平移后的抛物线经过点A,但不过点B.
①满足此条件的函数解析式有个.
②写出向下平移且经点A的解析式 .
(2)平移抛物线l1 , 使平移后的抛物线经过A,B两点,所得的抛物线l2 , 如图②,求抛物线l2的函数解析式及顶点C的坐标,并求△ABC的面积.
(3)在y轴上是否存在点P,使S△ABC=S△ABP?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)无数;y=﹣x2﹣1
(2)
解:设l2的解析式是y=﹣x2+bx+c,
∵l2经过点A(1,﹣2)和B(3,﹣1),
根据题意得: ,
解得: ,
则l2的解析式是:y=﹣x2+ x﹣ ,
则顶点C的坐标是( ,﹣ ).
过点A、B、C三点分别作x轴的垂线,垂足分别为D、E、F,则AD=2,CF= ,BE=1,DE=2,DF= ,FE= .
得:S△ABC=S梯形ABED﹣S梯形BCFE﹣S梯形ACFD=
方法二:
设l2的解析式为:y=﹣x2+bx+c,
∵l2经过点A(1,﹣2)和B(3,﹣1),
根据题意得: ,
∴b= ,c=﹣ ,
∴l2的解析式是:y=﹣x2+ x﹣ ,
则顶点C( ,﹣ ),过O点作x轴的垂线交AB于H,
∵A(1,﹣2),B(3,﹣1),
∴lAB:y= x﹣ ,把x= 代入,y=﹣ ,
∴H( ,﹣ ),
∴S△ABC= =
(3)
解:延长BA交y轴于点G,直线AB的解析式为y= x﹣ ,则点G的坐标为(0,﹣ ),设点P的坐标为(0,h)
①当点P位于点G的下方时,PG=﹣ ﹣h,连结AP、BP,则S△APG=S△BPG﹣S△ABP=(﹣ ﹣h)/2,
∴S△ABP=(﹣ ﹣h)
又∵S△ABC=S△ABP= ,得h=﹣ ,点P的坐标为(0,﹣ ).
②当点P位于点G的上方时,PG= +h,同理得h=﹣ ,点P的坐标为(0,﹣ ).
综上所述所求点P的坐标为(0,﹣ )或(0,﹣ )
方法二:
直线AB与y轴的交点为D,
∵lAB:y= x﹣ ,∴D(0,﹣ ),
设P(0,t),
∴S△ABP= ,
∴ ,
∴t1=﹣ ,t2=﹣ ,
∴点P的坐标为(0,﹣ )或(0,﹣ ).
【解析】解:(1)①满足此条件的函数解析式有无数个;
②设平移以后的二次函数解析式是:y=﹣x2+c,把A(1,﹣2)代入得:﹣1+c=﹣2,
解得:c=﹣1,
则函数的解析式是:y=﹣x2﹣1;