Question

已知a，b，c是△ABC的三边，x²-2（a+b）x+c²+ab=0是关于x的一元二次方程，
（1）若△ABC是直角三角形，且∠C=90°，试判断方程实根的个数；
（2）若方程有两个相等的实数根，试求∠C的度数．

Answer 1

解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边，x²-2（a+b）x+c²+ab=0是关于x的一元二次方程，
∴△=4a²+4b²+4ab-4c²，
∵△ABC是直角三角形，且∠C=90°，
∴a²+b²=c²，
∴△=4ab＞0，
故方程有两个不等实数根；

（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴△=4a²+4b²+4ab-4c²=0，
cosC==-
∴∠C=120°．
分析：（1）首先写出方程根的判别式，然后由a²+b²=c²确定判别式的符号，即可确定方程根的个数，
（2）由方程有两个相等的实数根则△=0，解得a、b、c的关系，求出cosC．
点评：本题主要考查根的判别式△=b²-4ac的情况，当△=b²-4ac＞0方程有两个不相等的实数根，当△=b²-4ac=0，方程有两个相等的实数根，当△=b²-4ac＜0，方程没有实数根．