题目内容

(2013•上海)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B>∠A,点D为边AB的中点,DE∥BC交AC于点E,CF∥AB交DE的延长线于点F.
(1)求证:DE=EF;
(2)连结CD,过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G,求证:∠B=∠A+∠DGC.
分析:(1)首先证明四边形DBCF为平行四边形,可得DF=BC,再证明DE=
1
2
BC,进而得到EF=
1
2
CB,即可证出DE=EF;
(2)首先画出图形,首先根据平行线的性质可得∠ADG=∠G,再证明∠B=∠DCB,∠A=∠DCA,然后再推出∠1=∠DCB=∠B,再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B.
解答:证明:(1)∵DE∥BC,CF∥AB,
∴四边形DBCF为平行四边形,
∴DF=BC,
∵D为边AB的中点,DE∥BC,
∴DE=
1
2
BC,
∴EF=DF-DE=BC-
1
2
CB=
1
2
CB,
∴DE=EF;

(2)∵DB∥CF,
∴∠ADG=∠G,
∵∠ACB=90°,D为边AB的中点,
∴CD=DB=AD,
∴∠B=∠DCB,∠A=∠DCA,
∵DG⊥DC,
∴∠DCA+∠1=90°,
∵∠DCB+∠DCA=90°,
∴∠1=∠DCB=∠B,
∵∠A+∠ADG=∠1,
∴∠A+∠G=∠B.
点评:此题主要考查了平行四边形的判定与性质,以及直角三角形的性质,关键是找出∠ADG=∠G,∠1=∠B.掌握在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.
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