Question

在直角坐标系xOy中，二次函数y=的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A在点B的左边，若
∠ACB=90°，
（1）求点C的坐标及这个二次函数的解析式．
（2）试设计两种方案：作一条与y轴不重合、与△ABC的两边相交的直线，使截得的三角形与△ABC相似，并且面积是△AOC面积的四分之一．求所截得的三角形三个顶点的坐标（说明：不要求证明）．

Answer 1

解：（1）在y=中，令x=0，则y=2-m，
则C的坐标是（0，2-m），则OC=m-2．
∵∠ACB=90°，
∴OC²=OA•OB，
设A、B的横坐标分别是x₁，x₂，则OA=-x₁，OB=x₂．
则x₁•x₂==4-2m，
∴OC²=OA•OB=2m-4．
则（m-2）2=2m-4，解得：m=2（舍去）或4．
故m=4．则OC=4-2=2，
则C的坐标是（0，-2），
∵，即===1，
∴AO=2CO=4，
则A的坐标是：（-4，0），
把（-4，0）以及m=4代入方程即可得到：8-3n-2=0，解得：n=2，
则二次函数的解析式是：y=x²+x-2；
（2）直角△OAC中，OA=OC=2，则当直线经过OA的中点，平行于OC时，使截得的三角形与△ABC相似，并且面积是△AOC面积的四分之一，则三个顶点的坐标是（-2，0）（-1，0），（-1，-1）；
直角△OAC中，OA=OC=2，则当直线经过OA的中点，平行于OA时，使截得的三角形与△ABC相似，并且面积是△AOC面积的四分之一，则三个顶点的坐标是（0，-2），（0，-1），（-1，-1）．
分析：（1）根据∠ACB=90°，以及OC⊥AB，则可以得到OC²=OA•OB，根据根与系数的关系即可得到关于m的方程，求得m的值，然后依据，利用OC²=OA•OB，即可求得OA的长度，从而求得A的坐标，代入解析式即可求得n的值，从而求得函数的解析式；
（2）经过OA或OC的中点，作△AOC的中位线，截得的三角形与△AOC以及△ABC一定相似，且面积是△AOC面积的四分之一，即可写出顶点的坐标．（答案不唯一）
点评：本题考查了根与系数的关系，以及相似三角形的判定与性质，正确求得m的值是关键．