Question

【题目】如图，抛物线y=x2﹣（m+2）x+3（m﹣1）与x轴的两个交点为A、B，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，直线y=﹣2x+m+6经过点B，交y轴于点E（0，6）．

（1）求直线和抛物线的解析式；

（2）如果抛物线的对称轴与线段BC交于点H，且直线y=x与直线y=﹣2x+m+6交于点G，求证：四边形OHBG是平行四边形；

（3）在抛物线上是否存在点P，使△APB的面积等于平行四边形OHBG的面积，若存在，直接写出P点的坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）证明见解析（3）存在满足条件的点p，点p的坐标是（0，-3）或（2，-3）或（1+，3）

【解析】试题分析：（1）根据待定系数法，可求得答案；

（2）根据直线的一次项的系数相等，可得平行线，根据平行四边形的定义可得结果；

（3）根据面积相等，可得关于x的方程，根据解方程，可得点的坐标.

试题解析：（1）将点E（0,6）代入直线y=-2x+m+6得

M+6=6，则m=0，∴直线的解析式为y=-2x+6，

抛物线的解析式为y=x2-2x-3；

（2）∵y=x2-2x-3=（x+1）（x-3）=（x-1）2-4

∴B（3,0），C（0，-3），D（1，-4），对称轴为x=1

设直线BC的解析式为y=kx-3

则3k-3=0，即k=1，∴直线BC的解析式为y=x-3

则BC∥OG，点H的坐标为（1，-2）

设直线OH的解析式为y=ax，则a=-2，∴直线OH的解析式为y=-2x，

∴OH∥BG，∴四边形OHBG是平行四边形；

（3）存在满足条件的点p，点p的坐标是（0，-3）或（2，-3）或（1+，3）

∵OB=3，△OBH的OB边上的高为2，

∴平行四边形的面积=2xx3x2=6

设点P的坐标为（x，x2-2x-3）

∵AB=4，∴×4|x2-2x-3|=6，解得x=1±或x=0或x=2

∴P的坐标为（0，-3）或（2，-3）或（1-，3）或（1+，3）