Question

【题目】折纸的思考．

用一张矩形纸片折等边三角形．
第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）．
第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到△PBC．
（1）说明△PBC是等边三角形．
（2）如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC，他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程．
（3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为a cm，对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围．
（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，求所需正方形铁片的边长的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：由折叠的性质得：EF是BC的垂直平分线，BG是PC的垂直平分线，

∴PB=PC，PB=CB，

∴PB=PC=CB，

∴△PBC是等边三角形

（2）

解：以 点B为中心，在矩形ABCD中把△PBC逆时针方向旋转适当的角度，得到△P1BC1；

再以点B为位似中心，将△△P1BC1放大，使点C1的对称点C2落在CD上，得到△P2BC2；

如图⑤所示

（3）

解：本题答案不唯一，举例如图⑥所示

（4）

解：如图⑦所示：

△CEF是直角三角形，∠CEF=90°，CE=4，EF=1，

∴∠AEF+∠CED=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A=∠D=90°，AD=CD，

∴∠DCE+∠CED=90°，

∴∠AEF=∠DCE，

∴△AEF∽△DCE，

∴ = ，

设AE=x，则AD=CD=4x，

∴DE=AD﹣AE=3x，

在Rt△CDE中，由勾股定理得：（3x）2+（4x）2=42，

解得：x= ，

∴AD=4× = ；

故答案为： ．

【解析】（1）由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC，PB=CB，得出PB=PC=CB即可；（2）由旋转的性质和位似的性质即可得出答案；（3）由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算，画出图形即可；（4）证明△AEF∽△DCE，得出 = ，设AE=x，则AD=CD=4x，DE=AD﹣AE=3x，在Rt△CDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【考点精析】关于本题考查的等边三角形的性质和勾股定理的概念，需要了解等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正确答案．