题目内容
【题目】如图，已知二次函数
的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为
．
（1）求二次函数
的解析式及点B的坐标；
（2）由图象写出满足
的自变量x的取值范围；
（3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
，B（0，3）；（2）x＜0或x＞4；（3）P1（0，
），P2（
，0）．
【解析】
（1）将A点坐标代入y1，可得抛物线的解析式，根据自变量为零，可得B点坐标；
（2）根据一次函数图象在上方的部分是不等式的解集，观察图象可得到答案；
（3）根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得P在线段的垂直平分线上，根据直线AB，可得AB的垂直平分线，根据自变量为零，可得P在y轴上，根据函数值为零，可得P在x轴上．
解：（1）将A点坐标代入
，得：﹣16+13+c=0．解得c=3，
∴二次函数的解析式为，
∵当x=0时，=3，
∴B点坐标为（0，3）；
（2）由图象得直线在抛物线上方的部分，是x＜0或x＞4，
∴x＜0或x＞4时，
；
（3）存在，解答如下：
根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得P在线段的垂直平分线上，作线段AB的垂直平分线l，垂足为C，
∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解解析式为
，
则有：
，解得：
，
∴直线AB的解析式为
，
设AB的垂直平分线l的解析式为：
，
∵直线l过AB的中点为（2，
），
∴
，解得：
，
∴AB的垂直平分线l的解析式为
，
①当x=0时，y=，P1（0，），
②当y=0时，x=，P2（，0），
综上所述：P1（0，），P2（，0），使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形．
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