Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3）、B（6，3），连结AB．如果点P在直线y=x+1上，且点P到直线AB的距离大于或等于1，那么称点P是线段AB的“疏远点”．
（1）判断点C（

5

2

，

7

2

）是否是线段AB的“疏远点”，并说明理由；
（2）若点Q（m，n）是线段AB的“疏远点”，求m的取值范围．

Answer 1

（1）点C（

5

2

，

7

2

）不是线段AB的“疏远点”．理由如下：
∵

5

2

+1=

7

2

，
∴点C（

5

2

，

7

2

）在直线y=x+1上；
∵点A的纵坐标与点B的纵坐标相同，
∴AB∥轴，
∴点C（

5

2

，

7

2

）到线段AB的距离是

7

2

-3=

1

2

＜1，
∴点C（

5

2

，

7

2

）不是线段AB的“疏远点”；

（2）∵点Q（m，n）是线段AB的“疏远点”，
∴点Q（m，n）在直线y=x+1上，
∴n=m+1．
①当n=m+1≥3，即m≥2时，
∵AB∥x轴，∴点Q（m，n）到线段AB的距离是n-3，
∴m+1-3≥1，解得m≥3；
②当n=m+1＜3，即m＜2时，
∵AB∥x轴，∴点Q（m，n）到线段AB的距离是3-n，
∴3-m-1≥1，解得m≤1，
综上所述，m≥3或m≤1．