题目内容

【题目】如图,AB、CD为⊙O的直径,弦AE∥CD,连接BE交CD于点 F,过点E作直线EP与CD的延长线交于点P,使∠PED=∠C.

(1)求证:PE是⊙O的切线;

(2)求证:ED平分∠BEP;

(3)若⊙O的半径为5,CF=2EF,求PD的长.

【答案】(1)证明见试题解析;(2)证明见试题解析;(3

【解析】试题分析:(1)如图,连接OE,证明OE⊥PE即可得出PE⊙O的切线;

2)由圆周角定理得到∠AEB=∠CED=90°,进而得到∠3=∠4,结合已知条件证得结论;

3)设EF=x,则CF=2x,在RT△OEF中,根据勾股定理求出EF的长,进而求得BECF的长,在RT△AEB中,根据勾股定理求出AE的长,然后根据△AEB∽△EFP,求出PF的长,即可求得PD的长.

试题解析:(1)如图,连接OE∵CD是圆O的直径,∴∠CED=90°∵OC=OE∴∠1=∠2,又∵∠PED=∠C,即∠PED=∠1∴∠PED=∠2∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°,即∠OEP=90°∴OE⊥EP,又E在圆上,∴PE⊙O的切线;

2∵ABCD⊙O的直径,∴∠AEB=∠CED=90°∴∠3=∠4(同角的余角相等),又∵∠PED=∠1∴∠PED=∠4,即ED平分∠BEP

3)设EF=x,则CF=2x∵⊙O的半径为5OF=2x﹣5,在RTOEF中, ,即,解得x=4EF=4BE=2EF=8CF=2EF=8DF=CD﹣CF=10﹣8=2ABO的直径,∴∠AEB=90°AB=10BE=8AE=6∵∠BEP=AEFP=AEB=90°∴△AEB∽△EFP,即PF=PD=PF﹣DF==

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