Question

【题目】在中，，，是线段上的点，是线段上的点，且．

（1）观察猜想

如图1，若点是线段的三等分点，则__________，___________．由此，我们猜想线段，，，之间满足的数量关系是_________．

（2）类比探究

将在平面内绕点按逆时针方向旋转一定的角度，连接，，，，猜想在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）解决问题

将在平面内绕点自由旋转，若，请直接写出线段的最大值．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）成立，证明详见解析；（3）的最大值为．

【解析】

（1）根据三等分的定义求出比值即可，利用相似三角形的性质解决问题；

（2）证明△AMD∽△ANE，△ABD∽△ACE，利用相似三角形的性质解决问题即可；

（3）由（2）可知，求线段的最大值，即为求线段的最大值.

解：（1）∵，

∴，

∴，

∴；

（2）成立，证明如下：

由（1）可知，，且，，

∴，，，

∴，，

∴，，

又∵，

∴，

∴；

∴；

（3）由（2）可知，

∴求线段的最大值，即为求线段的最大值，

由题意，可得，

在中，由三角形的三边关系，可得，

∴当点共线时，，即线段的最大值为2，

∵，

把代入得，

∴线段的最大值为．