题目内容
已知△ABC,∠BAC=90°,AB=AC=4,分别以AC,AB所在直线为x轴,y轴建立直角坐标系(如图
).点M(m,n)是直线BC上的一个动点,设△MAC的面积为S.
(1)求直线BC的解析式;
(2)求S关于m的函数解析式;
(3)是否存在点M,使△AMC为等腰三角形?若存在,求点M的坐标;若不存在,说明理由.

(1)求直线BC的解析式;
(2)求S关于m的函数解析式;
(3)是否存在点M,使△AMC为等腰三角形?若存在,求点M的坐标;若不存在,说明理由.
(1)设直线BC的解析式为:y=kx+b,
∵BA=AC=4,
∴B(0,4),C(4,0),
∴b=4,k=-1,
∴直线BC的解析式为:y=-x+4,
(2)∵点M(m,n)是直线BC上的一个动点,
∴S=S△MAC
=
×AC×n
=2n
=2(4-m)
=-2m+8,
∴S=-2m+8,
(3)存在这样的M,
①如图1,当∠ACM为顶角时,则AC=MC,
作MG⊥AB,MH⊥AC,
∵AC=AB=4,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∴CM=4,BC=4
,
∴BM=4
-4,
∵∠ABC=45°,
∴BG=MG,
∴BG=MG=4-2
,
∴AG=MH=2
,
∴M(4-2
,2
),

②如图2,当∠ACM为底角时,则MA=MC,
作MF⊥AB,ME⊥AC,
∵△ABC为等腰直角三角形,
∴当M点为BC的中点时,MA=MC,
∵AC=AB=4,
∴MF=ME=2,
∴M(2,2),

③如图3,当M点与B点重合时,当∠ACM为底角时,则MA=AC,
∵B(0,4),
∴M(0,4),
④当M在第四象限时,AC=CM=4,过M作MD⊥x轴,连接AM,如图所示:

∵∠BAC=∠MDC=90°,∠ACB=∠DCM,
∴△ACB∽△DCM,
∴
=
,又AB=AC=4,
∴MD=CD=4×
=2
,AD=AC+CD=4+2
,
∴M4(4+2
,-2
),
∴M点的坐标分别为:M1(2,2),M2(0,4),M3(4-2
,2
),M4(4+2
,-2
).
∵BA=AC=4,
∴B(0,4),C(4,0),
∴b=4,k=-1,
∴直线BC的解析式为:y=-x+4,
(2)∵点M(m,n)是直线BC上的一个动点,
∴S=S△MAC
=
1 |
2 |
=2n
=2(4-m)
=-2m+8,
∴S=-2m+8,
(3)存在这样的M,

①如图1,当∠ACM为顶角时,则AC=MC,
作MG⊥AB,MH⊥AC,
∵AC=AB=4,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∴CM=4,BC=4
2 |
∴BM=4
2 |
∵∠ABC=45°,
∴BG=MG,
∴BG=MG=4-2
2 |
∴AG=MH=2
2 |
∴M(4-2
2 |
2 |

②如图2,当∠ACM为底角时,则MA=MC,
作MF⊥AB,ME⊥AC,
∵△ABC为等腰直角三角形,
∴当M点为BC的中点时,MA=MC,
∵AC=AB=4,
∴MF=ME=2,
∴M(2,2),

③如图3,当M点与B点重合时,当∠ACM为底角时,则MA=AC,
∵B(0,4),
∴M(0,4),
④当M在第四象限时,AC=CM=4,过M作MD⊥x轴,连接AM,如图所示:

∵∠BAC=∠MDC=90°,∠ACB=∠DCM,
∴△ACB∽△DCM,
∴
AB |
MD |
AC |
CD |
∴MD=CD=4×
| ||
2 |
2 |
2 |
∴M4(4+2
2 |
2 |
∴M点的坐标分别为:M1(2,2),M2(0,4),M3(4-2
2 |
2 |
2 |
2 |

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