题目内容
如图1,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点P,E为BC的中点,过E点的圆O与BD相切于点P,圆O与直线AC,BC分别交于点F,G.
(1)求证:△PCD∽△EPF;
(2)如果AB=AD,AC=6,BD=8(如图2).求圆O的直径.
(1)求证:△PCD∽△EPF;
(2)如果AB=AD,AC=6,BD=8(如图2).求圆O的直径.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BP=DP,
又∵BE=CE,
∴PE∥DC,
∴∠CPE=∠PCD,
∵BD切⊙O于P,
∴∠DPC=∠PEF,
∴△PCD∽△EPF;
(2)∵平行四边形ABCD中,AB=AD,
∴平行四边形ABCD为菱形.
∴AC⊥BD,PB=
,
BD=
×8=4,PC=
,
AC=
×6=3,
∴BC=5,
∴BE=CE=
,
∵⊙O切BD于P,AC⊥BD,
∴PF为⊙O的直径,
∵PE2=BE•BG,
∴42=
•BG,
∴BG=
,
∴OG=BG-BC=
,
∵PC•CF=EC•CG,
∴3CF=
×
,
∴CF=
,
∴⊙O的直径为3+
=
.
∴BP=DP,
又∵BE=CE,
∴PE∥DC,
∴∠CPE=∠PCD,
∵BD切⊙O于P,
∴∠DPC=∠PEF,
∴△PCD∽△EPF;
(2)∵平行四边形ABCD中,AB=AD,
∴平行四边形ABCD为菱形.
∴AC⊥BD,PB=
1 |
2 |
BD=
1 |
2 |
1 |
2 |
AC=
1 |
2 |
∴BC=5,
∴BE=CE=
5 |
2 |
∵⊙O切BD于P,AC⊥BD,
∴PF为⊙O的直径,
∵PE2=BE•BG,
∴42=
5 |
2 |
∴BG=
32 |
5 |
∴OG=BG-BC=
7 |
5 |
∵PC•CF=EC•CG,
∴3CF=
5 |
2 |
7 |
5 |
∴CF=
7 |
6 |
∴⊙O的直径为3+
7 |
6 |
25 |
6 |
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