Question

阅读理解题：【几何模型】
条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点，问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小。
方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′P+PB=A′B，由“两点之间，线段最短”可知，点P即为所求的点。

【模型应用】
（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．求出PB+PE的最小值。（画出示意图，并解答）

（2）如图2，∠AOB=45°，P是∠AOB内一定点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值。（要求画出示意图，写出解题过程）

Answer 1

解：（1）连接DE，与交于点P ∵点B与D关于AC对称， ∴DP=BP， ∴PB+PE=PD+PE=DE， ∵在直角△ADB中，∠DAB=90°，AD=2，AE=1， ∴DE=。
（2）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN， MN交OA、OB于点Q、R， 连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN 由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB， ∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90° 在Rt△MON中，MN= 即△PQR周长的最小值等于。