题目内容

【题目】一个能被13整除的自然数我们称为十三数”,“十三数的特征是:若把这个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差,如果能被13整除,那么这个自然数就一定能被13整除.例如:判断383357能不能被13整除,这个数的末三位数字是357,末三位以前的数字组成的数是383,这两个数的差是383﹣357=26,26能被13整除,因此383357十三数”.

(1)判断3253254514是否为十三数,请说明理由.

(2)若一个四位自然数,千位数字和十位数字相同,百位数字与个位数字相同,则称这个四位数为间同数”.

求证:任意一个四位间同数能被101整除.

若一个四位自然数既是十三数,又是间同数,求满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差.

【答案】(1)3253不是“十三数”,254514是“十三数”(2)①证明见解析满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差为7878

【解析】

(1)根据题目中“十三数”的定义分析判断即可;

(2)①先设出一个四位的“同间数”再判断其除以101是否为整数即可证明;

②同①设出一个四位的“同间数”再根据“十三数”的定义分别求出最大值与最小值即可.

(1)解:3253不是“十三数”,254514是“十三数”,理由如下:

3﹣253=﹣250,不能被13整除,

3253不是“十三数”,

∵254﹣514=﹣260,﹣260÷13=﹣20

254514是“十三数”;(3分)

(2)①证明:设任意一个四位“间同数”为(1≤a≤9,0≤b≤9,a、b为整数),

===10a+b,

a、b为整数,

∴10a+b是整数,

即任意一个四位“间同数”能被101整除;

解:设任意一个四位“间同数”为(1≤a≤9,0≤b≤9,a、b为整数),

=,(7分)

这个四位自然数是“十三数”,

∴101b+9a是13的倍数,

当a=1,b=3时,101b+9a=303+9=312,312÷13=24,此时这个四位“间同数”为:1313;

当a=2,b=6时,101b+9a=606+18=624,624÷13=48,此时这个四位“间同数”为:2626;

当a=3,b=9时,101b+9a=909+27=736,936÷13=72,此时这个四位“间同数”为:3939;

当a=5,b=2时,101b+9a=202+45=247,247÷13=19,此时这个四位“间同数”为:5252;

当a=6,b=5时,101b+9a=505+54=559,559÷13=43,此时这个四位“间同数”为:6565;

当a=7,b=8时,101b+9a=808+63=871,871÷13=67,此时这个四位“间同数”为:7878;

当a=9,b=1时,101b+9a=101+81=182,182÷13=14,此时这个四位“间同数”为:9191;

综上可知:这个四位“间同数”最大为9191,最小为1313,

9191﹣1313=7878,

则满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差为7878.

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