题目内容
【题目】一个能被13整除的自然数我们称为“十三数”,“十三数”的特征是:若把这个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差,如果能被13整除,那么这个自然数就一定能被13整除.例如:判断383357能不能被13整除,这个数的末三位数字是357,末三位以前的数字组成的数是383,这两个数的差是383﹣357=26,26能被13整除,因此383357是“十三数”.
(1)判断3253和254514是否为“十三数”,请说明理由.
(2)若一个四位自然数,千位数字和十位数字相同,百位数字与个位数字相同,则称这个四位数为“间同数”.
①求证:任意一个四位“间同数”能被101整除.
②若一个四位自然数既是“十三数”,又是“间同数”,求满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差.
【答案】(1)3253不是“十三数”,254514是“十三数”(2)①证明见解析②满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差为7878
【解析】
(1)根据题目中“十三数”的定义分析判断即可;
(2)①先设出一个四位的“同间数”再判断其除以101是否为整数即可证明;
②同①设出一个四位的“同间数”再根据“十三数”的定义分别求出最大值与最小值即可.
(1)解:3253不是“十三数”,254514是“十三数”,理由如下:
∵3﹣253=﹣250,不能被13整除,
∴3253不是“十三数”,
∵254﹣514=﹣260,﹣260÷13=﹣20
∴254514是“十三数”;(3分)
(2)①证明:设任意一个四位“间同数”为(1≤a≤9,0≤b≤9,a、b为整数),
∵===10a+b,
∵a、b为整数,
∴10a+b是整数,
即任意一个四位“间同数”能被101整除;
②解:设任意一个四位“间同数”为(1≤a≤9,0≤b≤9,a、b为整数),
∵=,(7分)
∵这个四位自然数是“十三数”,
∴101b+9a是13的倍数,
当a=1,b=3时,101b+9a=303+9=312,312÷13=24,此时这个四位“间同数”为:1313;
当a=2,b=6时,101b+9a=606+18=624,624÷13=48,此时这个四位“间同数”为:2626;
当a=3,b=9时,101b+9a=909+27=736,936÷13=72,此时这个四位“间同数”为:3939;
当a=5,b=2时,101b+9a=202+45=247,247÷13=19,此时这个四位“间同数”为:5252;
当a=6,b=5时,101b+9a=505+54=559,559÷13=43,此时这个四位“间同数”为:6565;
当a=7,b=8时,101b+9a=808+63=871,871÷13=67,此时这个四位“间同数”为:7878;
当a=9,b=1时,101b+9a=101+81=182,182÷13=14,此时这个四位“间同数”为:9191;
综上可知:这个四位“间同数”最大为9191,最小为1313,
9191﹣1313=7878,
则满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差为7878.